8.5 空间直线、平面的平行-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

空间直线、平面的平行 1 线面平行 ① 直线与直线平行 基本事实 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理) 符号表述: 等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. ② 直线与平面平行 (1) 定义 直线与平面无交点. (2) 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. (俗说:若,要证明,则在平面内找一条直线与直线平行) 符号表述 (线线平行线面平行) (3) 性质定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行. 符号表述 (线面平行线线平行) (4) 证明线面平行的方法 · 定义法(反证) (用于判断) · 判定定理: (线线平行线面平行) · (面面平行线面平行) · 2面面平行 ① 定义:; 判断 内有无穷多条直线都与平行 ; 内的任何一条直线都与平行 ; ②判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面互相平行; 符号表述: 【如图】 推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面互相平行. 符号表述: 【如图】 ③ 面面平行的性质 · (面面平行线面平行) · (面面平行线线平行) · 夹在两个平行平面间的平行线段相等. ④ 证明面面平行的方法 · 定义法; · 判定定理及推论(常用) 【题型一】线面平行的证明 【典题1】 如图所示,在棱长为的正方体中,分别是, ,的中点. 求证:平面; (2)求的长;(3)求证:平面 . 【解析】如图所示,连接 ,分别为的中点, , ⊂平面,平面, 平面. 由题意,可得: 连接, 分别是的中点,, 又且,, 又⊂平面,平面, //平面. 【点拨】 ① 在立体几何中,遇到中点我们往往会想到中位线; ② 证明线面平行的过程中,经常利用三角形的中位线(如第一问)和构造平行四边形的方法(如第三问); ③ 证明线面平行可转化为证明线线平行或面面平行,本题第三问还有多种方法. 【典题2】 如图所示,正四棱锥的各棱长均为,分别为上的点,且. (1)求证:直线∥平面; (2)求线段的长. 【解析】(1)证明 连接并延长交于,连接,如图所示. ,, , 又, ,, 又平面PBC,平面, ∥平面. (2)解 在等边中,, 在中由余弦定理知 , , ,, 【点拨】 ① 证明线面平行可转化为线线平行,而本题是利用线段成比例证明线线平行; ② 由于线段与是异面直线,则条件不太好处理,一般要利用第三个“比例”把和联系起来,本题充当了这个角色; ③ 处理线段成比例中,要常注意以下几个模型,往往跟相似三角形有关: 比如本题中的就是属于“8字型”. 【题型二】线面平行的性质 【典题1】如图,四棱锥的底面是平行四边形,分别为线段上一点,若,且∥平面,则 ( ) A.41 B.31 C.32 D.21 【解析】 如图,连接交于点,连接交于点, 由平面,可得,(此处是根据线面平行的性质) ,,为的中点, 作,, ,,, 故选:. 【点拨】 ① 题目中出现线面平行平面,理当想到线面平行的性质; ② 线面平行的性质可由线面平行得到线线平行; ③ 在处理很多比例时,利用“份”的概念,可快速清楚各线段之间比例 比如 (1) 中,,则设最短线(即为“份”),则,则可得; (2) 中,若,设(即线段共“份”,占了“份”),则,由于线段成比例,易得类似等比例关系. 巩固练习 1(★) 如图在正方体中,棱长为,分别为的中点,则与平面的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 【答案】B 【解析】连结A1C、BC,取A1C的中点Q,A1B的中点P, 连结NQ、PQ、MN, ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为A1B、AC的中点, ∴NQ∥CC1,PQ∥BC, ∵PQ∩NQ=Q,CC1∩BC=C,PQ、NQ⊂平面PMN,CC1,BC⊂平面A1BC1, ∴平面PNQ∥平面A1BC1, ∵MN⊂平面PNQ,∴MN∥平面BB1C1C. 故选:B. 2(★) 如图所示,为所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,= . 【答案】 【解析】连接AC交BE于点M,连接FM. ∵PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF=EM, ∴PA∥EM,∴===,故答案为:. 3 (★★) 如图,在四面体中,,,,点,,,分别在棱,,,上,若直线,都平行于平面,则四边形面积的最大值是 . 【答案】 【解析】 ∵直线平行于平面,且平面交平面于,; 同理,,,所以,. 故:四边形为平行四边形. 又,的对称性,可知. 所以:四边形为矩形. 设,,, 根据二次函数的性质可知:面积的最大值. 4 (★★) 如图.在四棱锥中.底面是平行四边形,