专题03 复数的三角表示-2021-2022学年高一《新题速递•数学》（人教A版2019）

专题03 复数的三角表示 一、单选题 1．（2022·浙江省浦江中学高三期末）设，则在复平面内z对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的乘法运算化简复数的代数式即可. 【详解】 因为 ，故在复平面内z对应的点位于第二象限，故B正确. 故选：B 2．（2022·山西怀仁·高三期末（理））关于复数（a，，为虚数单位），下列说法正确的是（       ） A．若则 B．若为的共轭复数，则 C．复数的虚部为 D．若，则在复平面内对应的点的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】 对于选项，直接求负数的模；对于选项，考察共轭复数概念，若一个复数为，则其共轭复数为；对于选项，通过分子分母同时乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 对于选项，若，则，故答案错误； 对于选项，若为的共轭复数，则，，故答案错误； 对于选项，复数的虚部为，故答案错误； 对于选项，若，则，故答案正确. 故选： 3．（2022·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先设复数，然后根据复数相等建立方程，运用复数的四则运算即可 【详解】 不妨设复数，则有： 则有： 故有： 解得： 故选：B 4．（2021·广东·模拟预测）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则以及共轭复数的定义求得答案. 【详解】 解：由题意得： 故选：. 5．（2021·福建安溪·高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 将复数写成三角形式，可得结果. 【详解】 复数，因此，复数的辐角主值为. 故选：A. 6．（2021·江苏吴江·高一期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，（       ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用欧拉公式和诱导公式求解. 【详解】 因为， 所以. 故选：C. 7．（2021·湖南省岳阳县第一中学高三开学考试）已知复数，若在复平面内对应的向量分别为（为直角坐标系的坐标原点），且，则=（       ） A．1 B．-3 C．1或-3 D．-1或3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得，再由复数模的计算公式求解． 【详解】 ， ，则， 解得或． 故选：C 8．（2021·广东惠州·高一期中）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先对，然后再化为复数的三角形式可得答案 【详解】 所以 ， 故选：B 9．（2021·全国·高三专题练习）已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 设复数，根据题意可得，，即可解决. 【详解】 设复数， ∵向量与实轴正向的夹角为且复数的模为， ∴，， ∴． 故选:D. 10．（2021·全国·高二课时练习（理））1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题设定义的欧拉公式写出的三角形式，由复数的几何性质写出的三角形式，进而求，即可知其虚部. 【详解】 由题意知：，而， ∴，即虚部为. 故选：C. 二、填空题 11．（2021·江苏淮安·高二期末）写出一个使得z﹣z4＝0成立的虚数z＝__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】 直接解方程可得虚数z满足z3＝1（z≠1），从而可求出答案 【详解】 解：要使z﹣z4＝0，需z＝z4，∴z＝0（舍去），或z3＝1（z≠1）， ∴z＝cos+isin＝， 或z＝cos+isin＝ 故答案为：或 12．（2021·全国·高一课时练习）设复数z的辐角是，实部是－2，则z＝________． 【答案】 【解析】 【分析】 由复数三角形式的定义结合辐角的正切值可得结果. 【详解】 由复数，则 所以 故答案为: 13．（2021·上海·高一课时练习）计算：_________