专题05 复数压轴题型汇总-2021-2022学年高一《新题速递•数学》（人教A版2019）

专题05 复数压轴题型汇总 一、单选题 1.(2022·全国·高一)复数的模为1,其中为虚数单位,,则这样的一共有( )个. A.9 B.10 C.11 D.无数 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据复数的模为1及复数模的运算公式,求得即,接下来分与两种情况进行求解,结合,求出的个数. 【详解】 ,其中,所以,即,,当时,①,,所以,,因为,所以或;②,,所以,,因为,所以,,,,或;当时,①,,即,,因为,所以,②,,即,,因为,所以,,,,,综上:,,一共有11个. 故选:C 2.(福建省厦门市双十中学2022届高三上学期开学考试考数学试题)设为多项式的所有复数根,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用换元法结合高次的韦达定理可求的值. 【详解】 , 设,则可化为, 整理得到, 若,则,矛盾, 故, 故, 故为方程的复数根, 故为的全部的复数根, 所以, 同理, 故. 故选:C. 【点睛】 思路点睛:复系数的高次方程的根的关系,依然可以利用韦达定理来处理,注意根据所求代数式的特征合理换元与构造对应的方程. 3.(2021·全国·高一课时练习)已知复数对应的点在第二象限,为的共轭复数,有下列关于的四个命题: 甲:; 乙:; 丙:; 丁:. 如果只有一个假命题,则该命题是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】B 【解析】 【分析】 设,根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法,结合“只有一个假命题”进行分析,由此确定正确选项. 【详解】 设, 由于对应点在第二象限,所以, ,, ,. 甲, 乙, 丙, 丁, 由于“只有一个假命题”,所以乙是假命题,的值应为. 故选:B 4.(2022·全国·高三专题练习)已知复数满足且,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据条件求得复数,再利用三角函数表示复数,以及结合欧拉公式,计算复数的值. 【详解】 设, ,即, ,解得: , 当时, , 则 , 当时, 则 , 故选:D 5.(2021·上海交大附中高一期末)设是正整数,分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与.若存在,当取遍集合中的元素时,所得的不同取值个数有5个,则的值可以是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意,结合复数的乘方与开方,表示出集合,再把选项中的值分别代入计算得到集合,一一判断即可求解. 【详解】 由,得, 即,故,0,1,2,4,5, 因此集合. 当时,同理得, 此时不存在,当取遍集合中的元素时,所得的不同取值个数有5个, 同理可知,时,也不满足题意,故ACD错; 当时,得: , 当时,当取遍集合中的元素时,所得的不同取值个数有5个,故B正确. 故选B. 6.(2021·全国·高一课时练习)设复数在复平面上对应向量,将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量,对应复数,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先把复数化为三角形式,再根据题中的条件求出复数,利用复数相等的条件得到和的值,求出. 【详解】 因为, 所以, 设,,, 则, , 即,,, 故 . 故选:A. 【点睛】 本题考查复数的几何意义及复数的综合运算,较难. 解答时要注意将、化为三角形式然后再计算. 7.(2022·全国·高三专题练习)已知复数满足,且有,求( ) A. B. C. D.都不对 【答案】A 【解析】 根据题意可设(为虚数单位);然后再利用棣莫佛公式,可得,再根据复数的概念,可得,利用三角函数同角关系,即可求出的值,进而求出结果. 【详解】 因为,设(为虚数单位); 由棣莫佛公式,可得, 所以 所以,即 因为, 所以; 化简可得,即 所以,所以; 所以. 故选:A. 【点睛】 本题主要考查了复数模的运算,熟练掌握复数模的运算性质,是解决本题的关键. 8.(2022·全国·高三专题练习(文))已知复数z满足z4且z|z|0,则z2019的值为 A.﹣1 B.﹣2 2019 C.1 D.2 2019 【答案】D 【解析】 首先设复数z=a+bi(a,b∈R),根据z4和z|z|0得出方程组,求解可得: z,通过计算可得:,代入即可得解. 【详解】 设z=a+bi(a,b∈R), 由z4且z|z|=0,得 ,解得a=﹣1,b. ∴z, 而1, . ∴. 故选:D. 【点睛】 本题考查了复数的计算,考查了共轭复数,要求较高的计算能力,属于较难题. 二、填空题 9.(2021·贵州金沙·高三阶段练习(理))已知为复数,且,则的最大值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意,设,得到,则,利用复数的模的几何意义,即可得解. 【详解】 由题意设,则 ,,即, 即的模的轨迹可理解为