第09讲 正方形（核心考点讲与练）-2021-2022学年八年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）

第09讲正方形（核心考点讲与练） 一．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 二．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 三．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 一．正方形的性质（共8小题） 1．（2021春•浦东新区期末）如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H． （1）求证：BH⊥DE； （2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长． 2．（2021春•金山区期末）如图，正方形ABCD的边长等于4，对角线AC、BD相交于点O，E是DB延长线上一点，∠BCE＝15°，那么△BCE的面积等于 　 　． 3．（2020秋•普陀区期末）如果存在一条直线将一个图形分割成两部分，使其中一部分图形按某个方向平移后能够与另一部分重合，那么我们把这种图形称为平移重合图形，下列图形中，不是平移重合图形的是（　　） A．ㅤㅤ正方形 B．ㅤㅤ长方形 C．平行四边形 D．ㅤㅤ圆 4．（2021秋•虹口区校级期末）如图，正方形ABCD边长为2，CE∥BD，BE＝BD，则CE＝　 　． 5．（2021秋•浦东新区期中）如图，E、F分别为边长为1的正方形ABCD边BC、CD上的两个动点，若∠EAF的大小始终保持45°不变，则△CEF的周长为 　 　． 6．（2021春•嘉定区期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAC的平分线分别交BD、BC于点G、H，如果AB＝4，那么OG＝　 　． 7．（2021春•杨浦区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G． （1）求证：CG＝CE； （2）联结CF，求证：∠BFC＝45°； （3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长． 8．（2021秋•徐汇区期中）如图所示，在直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分别为9和6，则正方形丙的边长等于 　 　． 二．正方形的判定（共5小题） 9．（2021春•奉贤区期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG． （1）求证：四边形AEGF是菱形； （2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形． 10．（2021春•闵行区期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形 D．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 11．（2021春•普陀区校级期中）矩形各角的角平分线交成的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 12．（2021春•虹口区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形． 13．（2020春•金山区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，DF⊥AB，垂足为F，且DF＝CD，点E为线段AD的中点，过点F作FG∥CE交射线AD于G，联结CG． （1）求证：四边形CEFG是菱形． （2）当AC＝BC时，求证：四边形CEFG是正方形． 三．正方形的判定与性质（共4小题） 14．（2020•嘉定区二模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为　 　． 15．（2021•浦东新区模