第08讲 矩形（核心考点讲与练）-2021-2022学年八年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）

第08讲矩形（核心考点讲与练） 一．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 二．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 三．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 一．矩形的性质（共9小题） 1．（2021春•松江区期末）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．（2021春•奉贤区期末）已知AC、BD是四边形ABCD的两条对角线．如果将“AC⊥BD”记为①，“四边形ABCD是矩形”记为②，“四边形ABCD是菱形”记为③，那么下列判断正确的是（　　） A．由①推出② B．由①推出③ C．由②推出① D．由③推出① 3．（2021春•普陀区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． （1）联结DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； （2）如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 4．（2021春•嘉定区期末）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上，将△ABE沿直线BE翻折，点A落在AD与BC之间的点F处，如果∠CBF＝20°，那么∠BEF＝　 　度． 5．（2021秋•青浦区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB＝，AF＝2BF，那么GB＝　 　． 6．（2021秋•普陀区期中）如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，已知BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么边BC上的高的长是 　 　cm． 7．（2021春•浦东新区期末）矩形的较短边长是1，两条对角线的夹角为60°，则这个矩形的面积是 　 　． 8．（2021春•闵行区期末）如图，已知点E在矩形ABCD的边DC上，且AB＝AE＝2AD．求∠EBC的度数． 9．（2021春•许昌期末）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F． （1）求点D的坐标； （2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 二．矩形的判定（共5小题） 10．（2019春•闵行区期末）如图，在△ABC中，O为边AC的中点，过点A作AD∥BC，与BO的延长线相交于点D，E为AD延长线上的任一点，联结CE、CD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形： （2）当D为边AE的中点，且CE＝2CO时，求证：四边形ABCD为矩形． 11．（2021春•浦东新区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AB延长至点E，使AB＝BE，联结DE、EC，DE与BC交于点O． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若∠COE＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 12．（2021•台儿庄区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 13．（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，