专题01 利用相交线的性质求角度-【高效导学】2021-2022学年七年级数学下学期重难点专题多维突破精讲精练（人教版）

人教版七年级数学下册《第五章相交线》复习专题训练 专题训练一：利用相交线的性质求角度 知识回顾： ★邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 性质： 邻补角互补. ★对顶角的定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线. 性质： 对顶角相等. ●它们是从“位置关系”和“数量关系”两个方面总结“邻补角”“对顶角”的定义和性质的. ★垂线的定义：当两条直线相交的四个角中，有一个角是 直角 时，就说这两条直线 是 互相垂直 的，其中一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 . 垂直用符号“⊥”来表示，并在图中任意一个角处作上直角符号. ●垂线的定义既可以作为垂线的性质用又可以作为垂线的判定来用. 类型一：直接计算求角度 ◎【典例一】◎如图,已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，若 ∠AOD=100°. 求：(1)∠EOD的度数； (2)∠AOF的度数. 【答案】(1)40°； (2)150°. 【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角. 【解答】解:(1)∵∠AOD=100°， ∴∠BOD=180°－∠AOD=180°－100°=80°, ∵OE平分∠BOD， ∴∠EOD=∠BOE=∠BOD=×80°=40°; (2)∵∠EOD=40°, ∴∠EOC=180°－∠EOD=180°－40°=140°, ∵OF平分∠COE， ∴∠EOF=∠E0C＝×140°=70°, ∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=70°－40°=30°, ∴∠A0F=180°－∠BOF=180°－30°＝150°. 【分析】(1)根据邻补角的概念求出∠BOD，根据角平分线的定义计算即可； (2)根据邻补角的概念求出∠COE，根据角平分线的定义求出∠EOF，进而求出∠BOF的度数，根据邻补角的概念计算即可. ■【变式1】如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分． （1） 写出图中∠AOC的对顶角 ，∠AOE的补角是 ． （2）已知∠AOC=80°，且∠COE：∠AOE=1：3，求∠DOE的度数． 【答案】（1）∠DOB，∠BOE； （2）∠DOE=160°． 【考点】对顶角、邻补角；余角和补角． 【分析】（1）观察图象，根据对顶角和补角的定义找角； （2）根据比例设未知数，设∠COE=x°，则∠AOE=3x°，根据∠AOC的度数列方程求出∠COE的度数，进而求出∠DOE的度数即可. 【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O， ∴∠AOC和∠BOD是对顶角． ∵∠AOE+∠BOE=180°， ∴∠AOE的补角是∠BOE． 故答案为：∠DOB，∠BOE． （2） ∵∠COE：∠AOE=1：3， ∴设∠COE=x°，则∠AOE=3x°， ∵∠AOC=80°， ∴x+3x=80， ∴x=20，即∠COE=20°， ∴∠DOE=160°． ■【变式2】如图，直线CD，AB相交于点O，∠BOD和∠AON互余，∠AON=∠COM． （1） 求∠MOB的度数； （2）若∠COM=∠BOC，求∠BOD的度数． 【考点】对顶角、邻补角；余角和补角． 【答案】（1）90°； （2）67.5°． 【分析】（1）根据余角的定义可得∠BOD+∠COM=90°，再根据平角的定义可求解； (2)设∠COM=x°，则∠BOC=5x°，∠BOM=4x°，结合∠BOM=90°可求解x值，进而可求解∠BOD的度数． 【解答】解：（1）∵∠BOD和∠AON互余， ∴∠BOD+∠AON=90°， ∵∠AON=∠COM， ∴∠BOD+∠COM=90°， ∴∠MOB=180°﹣（∠BOD+∠COM）=90°； （2）设∠COM=x°，则∠BOC=5x°， ∴∠BOM=4x°， ∵∠BOM=90°， ∴4x=90°， 解得x=22.5°， ∴∠BOD=90°﹣22.5°=67.5°． 类型二：利用垂线的性质计算求角度 ◎【典例二】◎如图，直线AB，CD相交于点O.射线OF⊥CD于点O，∠BOF=30°，求∠BOD，∠AOD的度数. 【考点】垂线；邻补角 【答案】∴∠BOD=60°，∠AOD=120°. 【分析】利用垂线定义可得∠DOF=90°，再结合条件∠BOF=30°，可求出∠BOD的度数，利用邻补角定义可得∠AOD的度数. 【解答】解：∵OF⊥CD， ∴∠DOF=90°， ∵∠BOF=30°， ∴∠BOD=∠DO