第11讲 等腰三角形性质与判定（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）

第11讲等腰三角形性质与判定（核心考点讲与练） 一．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 二．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 三．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 一．等腰三角形的性质（共5小题） 1．（2021春•普陀区校级月考）△ABC中，∠BAC＝∠BCA，AD平分∠BAC，DE∥AC，下列说法正确的是（　　） A．∠B＝36° B．∠ADB＝108° C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B 2．（2021春•闵行区期末）已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数． 3．（2021春•奉贤区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠ADE的度数． 4．（2021春•松江区期末）如图，已知直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA延长线于点G． （1）说明AC＝AF的理由； （2）若∠FCD＝32°，求∠G的大小． 5．（2021春•杨浦区期末）已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED． （1）如图1，试说明AC＝CE的理由； （2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由； （3）当AH∥EI时，求∠B的度数． 二．等腰三角形的判定（共4小题） 6．（2021春•普陀区校级期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAC＝90°，∠BAD＝2∠C． 求证：AD＝AB． 8．（2021春•松江区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由． 9．（2021春•浦东新区期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　 　个等腰三角形． 三．等腰三角形的判定与性质（共5小题） 10．（2021春•松江区期末）下列判断错误的是（　　） A．等腰三角形是轴对称图形 B．有两条边相等的三角形是等腰三角形 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 11．（2021春•普陀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝25，求AB的长． 13．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E． （1）找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明； （2）如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？ 14．（2019春•浦东新区期末）已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线． （1）如图1，求∠P的度数； （2）过点P作EF∥BC与边AB、AC分别交