第09讲 复数-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第9讲 复数 知识点1 复数的概念及代数表示 1、①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． ②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2、在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 3、对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数. (1)复数(a＋bi，a，b∈R) (2)集合表示： 知识点2 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点3 复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点4 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝ ＝(c＋di≠0). 知识点5 常用结论 ①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)； ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i. ④i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． ⑤i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 考点一 复数的有关概念 解题方略： 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b； (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．所以解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． ①复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=;③z∈R⇔z2≥0. ②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0. （1） 复数的实部与虚部 【例1】已知是虚数单位，复数，则复数的虚部为(       ) A． B． C． D． B． 变式1：设为虚数单位，复数满足，则的虚部是(       ) A．-1 B．i C．-2 D．-2i 变式2：复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（       ） A．i B．-i C．-1 D．1 变式3：若复数的实部与虚部相等，则b的值为（       ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 变式4：设i为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，其中a是实数，则______． 变式5：已知复数，则（       ） A．的虚部为 B．的实部为 C． D． （2） 共轭复数 【例2】在复平面内，复数z满足，则z的共轭复数为(       ) A． B． C． D． 变式1：已知复数（i为虚数单位），则的共轭复数是（       ） A． B． C． D． （3） 复数相等 【例3】已知均为实数.若，则_________． 变式1：已知，则实数x､y的值分别是___________. 变式2：已知，是虚数单位，若，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．-2 变式3：已知，，则（       ） A． B． C．2 D． 变式4：已知复数，若，则（       ） A． B． C． D． 变式5：已知复数z满足：是实数，z的模为，z的共扼复数在复平面内对应的点在第一象限． (1)求； (2)若，求a，b的值． （4） 复数分类 【例4】设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值是______． 变式1：若，其中i是虚数单位，a，，则________；若为实数，则实数m＝________． 变式2：实数a取什么值时，复数（i是虚