7.4 二项式定理-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第七章 计数原理 7.4二项式定理 【必备知识】 知识点1:二项式定理 1.二项式定理 一般地, 对于任意正整数 , 都有 该公式叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做 的二项展开式,其中各项的系数 叫做二项式系数, 叫做二项展开式的通项,用 表示,即通项为展开式的第 项: . 2.二项展开式的规律 (1) 二项展开式一共有 项. (2) 项按 的降幕 的升幂排列. (3) 每一项中 和 的幂指数之和为 . 【典例1】求 的展开式. 【答案】 【详解】 根据二项式定理, . 【典例2】 的二项展开式中,第4项是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 根据二项式写出其展开式通项 ,确定第4项对应的r值,进而求第4项即可. 【详解】 展开式的通项为 , ∴第4项为 . 故选:C. 3.求二项式的特定项 【典例3】 的展开式中含 项的二项式系数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 求出二项式展开式的通项,令 的指数位置等于 求得 的值,即可求解. 【详解】 的展开式的通项为: , 令 可得 , 所以含 项的二项式系数为 , 故选:D. 【典例4】 的展开式中常数项是( ) A.60 B.120 C.160 D.960 【答案】C 【分析】 先写出展开式中的通项公式,再令x指数为0,解出r,最后带入计算即可. 【详解】 的展开式的通项公式为 , 令 ,则 , 故常数项为第4项且为 , 故选:C. 知识点2:二项式定理的性质 1.杨辉三角 当 依次取 时,观察 的展开式的二项式系数: 从中我们可以看出,左侧三角是根据二项式定理得到的,右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结果,由此我们可以发现以下性质: (1)每一行中的二项式系数是对称的,如第一项与最后一项的二项式系数相等,第二项与倒数第二项的二项式系数相等. (2)每一行两端都是1,而且从第二行起,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. (3)从第二行起,每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. (4)第一行的两个数之和为 ,第二行的三个数之和为 ,第六行的各数之和为 , 第 行的 个数之和为 . 2.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即 ) (2)增减性: 当 时,二项式系数逐渐增大;当 时,二项式系数逐渐减小,因此二项式系数在中间取得最大值 (3)最大值:当 是偶数时,展开式的中间一项 的二项式系数 最大;当 是奇数时,展开式的中间两项 与 的二项式系数 相等且最大 (4)二项式系数和: 3.二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指 ,它只与各项的项数有关,而与 的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a, b的值有关.如 的二项展开式中,第 项的二项式系数是 ,而该项的系数是 . 【典例5】在 的展开式中,只有第 项的二项式系数最大,则 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【分析】 利用二项式系数的性质:展开式中间项二项式系数最大,得 ,得出n的值. 【详解】 在 的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,即中间项 项的二项式系数最大, 即 ,解得: 故选:C. 【典例6】已知 的展开式中,第 项和第 项的系数相等,求这个展开式所有二项式系数之和. 【答案】 【分析】 根据第 项和第 项系数相等可求得 ,则二项式系数和为 . 【详解】 展开式通项公式为 , 展开式第 项和第 项的系数相等, , , 则展开式所有二项式系数和为 . 【典例7】 的展开式中系数最大的项为( ) A.第 项 B.第 项 C.第 项 D.第 项 【答案】B 【分析】 先得到 的展开式的通项公式为: ,要使系数最大,则r为偶数,且r可取2,4,6,由 ,且 求解. 【详解】 的展开式的通项公式为: , 要使系数最大,则r为偶数,且r只可能从2,4,6中选, 故 ,且 , 所以 ,且 , 所以 ,且 , 经验证:当 时,符合, 所以 的展开式中系数最大的项为第五项, 故选:B 知识点3:特值法求各项系数和 【典例8】在二项式(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和; (4)系数绝对值的和. 【答案】(1)29;(2)-1;(3) ;(4)59. 【分析】 (1)根据二项式系数的性质即可求解; (2)设 ,令 ,代入 即可求解; (3)由(2),再令 ,两式相加即可求解. (4)利用赋值法即求. 【详解】 设 , (1)二项式系数之和为 (2)令 , 得 , 即各项系数之和为-1; (3)由(2)知 ,① 令 , 得 ,② 将①②两式相加,得 此即为所有奇数项系数之和. (4)方法一:|a0|+|a1|+|a2|