7.3 组合-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第七章 计数原理 7.3组合 【必备知识】 知识点1:组合与组合数 1.组合的定义 一般地,从 个不同元素中取出 个元素作为一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合. 2.排列与组合的区别 联系:都是从 个不同元素中取出 个元素. 区别:排列是把取出的元素按顺序排成一列,它与元素的顺序有关系,而组合只要把元素取出来就可以,取出的元素与顺序无关.可总结为:有序排列,无序组合. 3.组合数 从 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数,用符号 表示. 4.组合数公式 (1)连乘表示: 这里, ,并且 . (2)阶乘表示: . 规定: . 5.组合数性质 性质1: 性质2: 【典例1】 计算: (1) ; (2) ; (3) . 【答案】(1)1225 (2)161700 (3)20 【解析】 (1) (2) (3) 【典例2】 若 ,则 _, _. 【答案】 【解析】 ,且 , , . 故答案为: ; 【典例3】用组合数公式证明: (1) ; (2) . 【答案】 (1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 (1)∵ , , ∴ . (2)∵ ∴ . 知识点2:解决组合问题的常见方法 1.隔板法 将 个相同的元素分成 份 为正整数),每份至少一个元素,可以用 块隔板,插入 个元素排成一排的 个空隙中,共有 种分法. 【典例4】将7个相同的球放入4个不同的盒子中,则每个盒子都有球的放法种数为( ) A.22 B.25 C.20 D.48 【答案】C 【详解】 解:将7个相同的球放入4个不同的盒子中,即把7个相同的球分成4组, 因为每个盒子都有球, 所以每个盒子至少又一个球,不妨将7个球摆成一排,中间形成6个空,只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开,即分成4组,不同插入方法共有 种, 所以每个盒子都有球的放法种数为20. 故选:C. 【典例5】将10本完全相同的科普知识书,全部分给甲､乙､丙3人,每人至少得2本,则不同的分法数为( ) A.720种 B.420种 C.120种 D.15种 【答案】D 【详解】 先从10本书中拿出3本,分给每人一本书, 再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人,分法种数为 15, 故选: D 2.平均分组问题 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以 为均分的组数),避免重复计数. 【典例6】2021年暑假,贵阳一中继续组织学生开展“百行体验”社会实践活动.现高三年级某班有6名学生需要去敬老院､社区医院､儿童福利院三个机构开展活动,要求每个机构去2名学生,且学生甲不去敬老院,则不同的安排共有( ) A.60种 B.360种 C.15种 D.100种 【答案】A 【分析】 先将6名学生平均分为3组,再根据甲所在小组不能去敬老院分配,然后利用分步计数原理求解. 【详解】 先将6名学生分为3组,有 种, 因为甲所在小组不能去敬老院,所以安排的方法有 种, 故不同的安排共有 种, 故选:A. 3.不平均分组问题 【典例7】假期里,有4名同学去社区做文明实践活动,根据需要,要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站,每个实践站至少去1名同学,则不同的安排方法共有( ) A.20种 B.14种 C.12种 D.10种 【答案】B 【分析】 先将4名同学分为两组,两组人数为可能为1,3人或2,2人,共有 种方案,再将两组同学分配到两个文明实践站有 种,最后结合乘法原理求解即可. 【详解】 解:先将4名同学分为两组,两组人数为可能为1,3人或2,2人, 当两组人数为1,3时,有 种方案, 当两组人数为2,2时,有 种方案, 所以将4名同学分为两组,共有 种方案, 再将两组同学分配到两个文明实践站,有 种, 所以根据乘法原理得共有 种不同的方法. 故选:B 【过关检测】 一、单选题 1.若 ,则n的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【详解】 因为 ,则由组合数的性质有 ,即 , 所以n的值为10. 故选:D 2. ( ) A.110 B.65 C.55 D.100 【答案】B 【详解】 . 故选:B. 3.从5名男生和4名女生种选出4人参加辩论赛,如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,那么有( )种不同选法. A.20 B.60 C.78 D.91 【答案】D 【详解】 在9人选4人的所有选法中,去掉甲和乙都不在内的选法,于是符合条件的选法种数为: . 故选:D. 4.已知文印室内有 份待打印的文件自上而下摞在一起,秘书小王要在这 份文件中再插入甲、乙两份文件,甲文件要在乙文件前打印,且不改变原来次序,则不同的打印方式的种数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 可理解为从 个空位中选择两个空位排