7.2 排列-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第七章 计数原理 7.2排列 【必备知识】 知识点1:排列与排列数 1.排列的定义 一般地,从 个不同元素中取出 个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列. 2.排列数的定义 从 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数,用符号 表示. 3.排列数公式 .这里 , 并且 . 4.全排列 特别地,我们把 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 个元素的一个全排列,这时公式中 ,即有 5.阶乘 正整数1到 的连乘积,叫做 的阶乘,用 表示.将 个不同的元素全部取出的排列数可以写成 , 规定 . 【典例1】 (1)已知 ,那么 _; (2)已知 ,那么 _; (3)已知 ,那么 _. 【答案】 【解析】(1)由 , 则 , 即 ,解得 . (2)由 ,则 ,解得 . (3)由 ,则 且 , 解得 或 (舍). 故答案为: ; ; 【典例2】 计算: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】 (1)解: . (2)解: . (3)解: . (4)解: . 【典例3】 (1)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位数?可以组成多少个没有重复数字的正整数? (2)由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数? 【答案】(1) 数字1,2,3,4,5可以组成120个没有重复数字的五位数,组成325个没有重复数字的正整数;(2) 由数字1,2,3,4可以组成22个没有重复数字且比1300大的正整数. 【详解】 (1)根据题意,将1,2,3,4,5进行全排列, 有 种情况,即可以组成 个没有重复数字的五位数. 要求由1,2,3,4,5组成没有重复数字的正整数,可以分 种情况讨论: ①由5个数字组成的一位数,有 种情况, ②由5个数字组成的两位数,有 种情况, ③由5个数字组成的三位数,有 种情况, ④由5个数字组成的四位数,有 种情况, ⑤由5个数字组成的五位数,有 种情况, 则一共有 没有重复数字的正整数. (2)根据题意分两种情况讨论: ①首位数字是2,3,4时, 组成的4位数都比1300大, 此时有 种情况, ②首位数字是 时,第二位数字必须为3,4时, 此时有 种情况, 一共有 种情况,即可以组成 个比1300大的正整数. 知识点2:解决排列问题的常见方法 1.捆绑法 要解决某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法,即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起做排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 【典例4】甲､乙､丙､丁4人站成一排排练节目,且甲､乙2人必须相邻,则不同的站队方法有( ) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 【答案】A 【分析】 将甲､乙2人“捆绑”在一起看成1个人与其他从进行全排列,本身也全排列即可得. 【详解】 将甲､乙2人“捆”在一起看成1个人,共有 种站队方法. 故选:A. 【典例5】要为5名游客和2位导游拍照留念,要求排成一排,且2位导游相邻,不同的排法共有( ) A.1440 B.960 C.720 D.240 【答案】A 【详解】 因为两位导游要相邻,因此将两位导游看作一个人,内部排列有 种排法, 将两位导游看作一个人和其他人全排列有 种排法, 因此根据乘法原理共有 种排法, 故选:A 2.特殊位置和特殊元素 某个或某几个元素要或不要排在指定位置,可先排这个或这几个元素,再排其他的元素(元素优先法);也可针对特殊元素,先把指定位置安排好元素,再排其他的元素(位置优先法). 【典例6】现要从“语文、数学、英语、物理、化学、生物”这6科中选出4科安排在星期三上午4节课,如果“语文”不能安排在第一节,那么不同的安排方法的种数为( ) A.280 B.300 C.180 D.360 【答案】B 【解析】第一节课从除了语文之外的5科中选1科,其它3节课从5科中选3科排列, 则一共有 (种). 故选:B. 【典例7】七人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙､丙两人必须相邻,则排法共有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【分析】 特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,再利用捆绑法即求. 【详解】 特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有 种选法,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余四个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有 (种). 故选:D 3.插空法 解决元素相离问题,可先把没有位置要求的元素进行排列,再把不相邻元素插入中间和两端. 【典例8】现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法共有( )种. A. B. C. D