2.4一元一次不等式(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

2.4一元一次不等式 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如,是一个一元一次不等式. 注意: (1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式); ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系: 相同点:二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式. 不同点:一元一次不等式表示不等关系,由不等号“<”、“≤”、“≥”或“>”连接,不等号有方向;一元一次方程表示相等关系,由等号“=”连接,等号没有方向. 题型1:识别一元一次不等式 1.在数学表达式:﹣4<0,2x+y>0,x=1,x2+2xy+y2,x≠5,x+2>y+3中,是一元一次不等式的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】根据不等式的定义,用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式,依次判断6个式子即可. 【解答】解:根据不等式的定义,依次分析可得:﹣4<0,2x+y>0,x≠5,x+2>y+3,1个式子符合一元一次不等式定义,而x=1是等式,x2+2xy+y2是代数式, 故选:A. 【变式1-1】下列各式中,是一元一次不等式的有( ) (1)x+2+x2<2x﹣5+x2;(2)2x+xy+y;(3)3x﹣4y≥0;(4)﹣5<x;(5)x≠0;(6)a2+1>5. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可.含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式. 【解答】解:(1)x+2+x2<2x﹣5+x2,化简可得﹣x<7,是一元一次不等式; (2)2x+xy+y没有不等符号,所以不是一元一次不等式; (3)3x﹣4y≥0含有两个未知数,不是一元一次不等式; (4)﹣5<x,不是整式,所以不是一元一次不等式; (5)x≠0是一元一次不等式; (6)a2+1>5,未知数的次数是2,所以不是一元一次不等式; 所以是一元一次不等式的有2个. 故选:B. 【变式1-2】已知(m+2)x|m|﹣1+1>0是关于x的一元一次不等式,则m的值为( ) A.1 B.±1 C.2 D.±2 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值.含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式. 【解答】解:依题意得:|m|﹣1=1且m+2≠0, 解得m=2. 故选:C. 一元一次不等式的解法 1.解不等式:求不等式解的过程叫做解不等式. 2.一元一次不等式的解法: 与一元一次方程的解法类似,其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为:(或)的形式,解一元一次不等式的一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)化为(或)的形式(其中);(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 注意: (1)在解一元一次不等式时,每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用. (2)解不等式应注意: ①去分母时,每一项都要乘同一个数,尤其不要漏乘常数项; ②移项时不要忘记变号; ③去括号时,若括号前面是负号,括号里的每一项都要变号; ④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变. 题型2:一元一次不等式的解法 2.不等式2x≤4的解集,在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【分析】将不等式系数化为1求得其解集,再根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则即可判断答案. 【解答】解:解不等式2x≤4得:x≤2, 故选:B. 【变式2-1】不等式6﹣2x>0的解集是( ) A.x>3 B.x>﹣3 C.x<3 D.x<﹣3 【分析】利用不等式的基本性质,移项,再两边都除以﹣2即可. 【解答】解:移项得:﹣2x>﹣6, 两边都除以﹣2得,x<3. 故选:C. 【变式2-2】不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【分析】去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成1,最后在数轴上表示出来即可. 【解答】解:, 去分母,得2(4+x)﹣6≤3x, 去括号,得8+2x﹣6≤3x, 移项,得2x﹣3x≤6﹣8, 合并同类项,得﹣x≤﹣2, 系数化成1,得x≥2, 在数轴上表示为: , 故选:A. 题型3:解一元一次不等式 3.(1)解不等式:2x+1>3(2﹣x),并把它的解集在数轴上表示出来. (2)解不等式4(x﹣1)+3≤2x+5,并把它的解集在数轴上表示出来. 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得. (1)【解答】解:去括号,得:2x+1>6﹣3x, 移项,得:2x+3x>6﹣1, 合并同类项,得: