课时作业(二十) 向量的数乘与向量共线的关系（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

课时作业(二十)　向量的数乘与向量共线的关系 1．已知向量a，b不共线，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为(　　) A．－ B．－1 C． D．1 A　[由题意，可知v≠0，因为u∥v，所以存在实数λ，使得u＝λv，即a＋kb＝λ(2a－b)，整理得(1－2λ)a＋(k＋λ)b＝0，即(1－2λ)a＝－(k＋λ)b.又a与b不共线，所以.故选A.]，即 2．已知a，b是两个不共线的向量，且＝3(a－b)，则(　　)＝－2a＋8b，＝2a＋10b， A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 A　[∵ 共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选A.]，，∴＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝＋＝ 3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　) A．－1或3 B． C．－1或4 D．3或4 A　[因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量， 所以m＝， 解得m＝－1或m＝3.] 4．如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若，则m＋n的取值范围是(　　)＋n＝m A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，0) D　[由点D是圆O外一点，可设∈(－1，0).]＝－－，则m＋n＝－，n＝－(λ>1，μ>1)，所以m＝－·－ ＝－(μ>1)，则＝－μ.又C，O，D三点共线，令＋(1－λ)＝λ＋λ＝(λ>1)，则＝λ 5．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若，则m＋n的值为(　　)＝n，＝m A．1 B．2 C．3 D．4 B　[法一：连接AO(图略)， 则， ＋)＝＋(＝ 因为M，O，N三点共线， 所以＝1， ＋ 所以m＋n＝2. 法二：连接AO(图略). 由于O为BC的中点， 故)， ＋(＝ ， ＋＝)－＋(＝－＝ 同理，.＋＝ 由于向量共线， ， 故存在实数λ使得， ＝λ 即.＝λ＋ 由于不共线， ， 故得， ＝λλ且＝－ 消掉λ，得(m－2)(n－2)＝mn， 化简即得m＋n＝2.] 6．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k＝________．＝2a＋b，＝a－kb， 解析：　因为A，B，D三点共线， 所以)， －＝λ(＝λ 所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)， 所以λ＝1，k＝2. 答案：　2 7．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________． 解析：　因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反， 所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ<0⇒k<0). 答案：　－4 8．如图所示，正三角形ABC的边长为15，|＝________．，则|＋＝，＋＝ 解析：　因为.∥，所以＝＋＋＋－＝－＋＋＝ 又||＝13.|＝15，所以| 答案：　13 9．如图，在四边形ABCD中，，F，G分别是CB与CD的中点，求证：四边形EFGH为梯形．＝，＝ 证明：　连接BD(图略). 由题知，－＝－＝ ＝.)＝－( 同理.＝2，即＝ 所以， ＝ 所以， ∥ 且||.|≠|||＝ 又F，G，H，E四点不共线． 所以EH∥FG，且|EH|≠|FG|. 所以四边形EFGH为梯形． 10．如图，在▱ABCD中，M是AB的中点，MC与BD交于点N，若BD＝λBN，求λ的值． 解析：　设＝b.＝a， 设， ＝t 由题意，得＋＝ ＝－(a＋b)a＋＝－a＋ ＝b.a＋ tta＋tb， ＝－)＝t＋＝t( 即ta＋tb.b＝－a＋ 由于a与b不共线， 所以 解得t＝，λ＝3. 所以λ＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $