6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

6.3 平面向量基本定理 及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 问题导入 思考1：已知，，怎样用与的坐标表示呢？ 因为，， 所以. 又 所以 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 新知探索 由此可得 (1)若，则，或. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， (2)设则 例析 例10.若则是什么形状？证明你的猜想. 解：如图，在平面直角坐标系中画出点，我们发现是直角三角形.证明如下. 因为， 所以 于是. 因此，是直角三角形. 新知探索 设都是非零向量，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得： . 例析 例11.设求及的夹角(精确到1°). 解： 因为 所以用计算器计算可得， 利用计算工具可得 例析 例12.用向量方法证明两角差的余弦公式 解：如图，在平面直角内作单位圆，以轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为，.则： 由向量数量积的坐标表示，有 设与的夹角为，则 所以 图1 图2 例析 例12.用向量方法证明两角差的余弦公式 解：另一方面，由图1可知， 由图2可知，.于是 所以 于是， 图1 图2 新知探索 辨析1：判断正误. (1)已知两个非零向量，，满足则向量的夹角为0°. （ ） (2)已知，， （ ） (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角. （ ） 答案：×，×，×. 辨析2：已知，则等于（ ）. A.3 B.4 C. D.5 答案：D. 练习 题型一：向量数量积的坐标运算 例1.(1)如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上.若，则 答案： 解：以为坐标原点，为轴、为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，. 可设，因为，所以，. 所以. 练习 题型一：向量数量积的坐标运算 例1.(2)已知与同向，，. ①求的坐标；②若，求及. 解：①设，则有 ∴∴ ②∵ ∴ 练习 变1.(2019全国卷2)已知，，，则( ). A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案：C. 解：∵ ∴解得 ∴ ∴ 练习 方法技巧： 数量积坐标运算的技巧 (1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径“一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；而是利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积. 练习 题型二：向量模的问题 例2.(1)(2019全国卷)已知向量，则( ). A. B.2 C. D.50 答案：A. 解：∵ ∴ 练习 例2.(2)已知向量，向量则的最大值为__________. 答案：. 解：∵ ∴ 当且仅当时，取最大值. 练习 变2.已知向量，，，则等于( ). A. B. C.5 D.25 答案：C. 解：∵，∴又， ∴即 ∴ ∴∴. 练习 方法技巧： 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算： 利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算： 若，则，于是有. 练习 题型三：向量的夹角和垂直问题 例3.设平面上向量()，. (1)求与的夹角； 解：由题意知， 则 ∵，∴. 又，∴，即两向量的夹角为. 练习 例3.设平面上向量()，. (2)求证：与垂直. 证明：∵ ∴. 练习 变3.在矩形中，，，，分别在，上，且,则当时，. 答案：. 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设， 则，. ∵，∴， ∴， 解得，∴，∴. 练习 方法技巧： 利用向量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积：利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模：利用计算两向量的模. (3)求夹角余弦值： 由公式求夹角余弦值. (4)求角：由向量夹角的范围及求的值. 注：涉及非零向量垂直问题时，一般借助来解决. 课堂小结 设非零向量与的夹角为，则有: 坐标表示 数量积 模 或 两点间 距离公式 设则 垂直 夹角 作业 (1)整理本节课的题型； (2)课本P36的练习13题； (3)课本P36的习题6.3的题. $