9.4 矩形、菱形、正方形（4）——菱形的判定-2021-2022学年苏科版数学八年级下册同步课件

9.4矩形、菱形、正方形（4） ——菱形的判定 1 矩形 菱形 定义 有一角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 平行四边形的性质 性质 边 角 对角线 四个角都是直角 相等 互相垂直且平分每一组对角 判定 有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形 四条边都相等 前面的课程中，我们已经学习了矩形和菱形的性质，下面我们对这些内容做一个回顾： 想一想 同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着思考，菱形的第一种判定方法是什么？ 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 根据定义得： A B C D 还有什么其他的判定方法吗? 几何语言： ∵在 ABCD中，AB=AD， ∴ ABCD 为菱形。 在前面的课程中，我们已经知道： 菱形的四条边都相等 四条边都相等的四边形是菱形吗？ B A D C 命题： 有四条边相等的四边形是菱形。 几何语言: ∴四边形ABCD是平行四边形 已知：在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形 证明: ∴四边形ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形) ∵ 在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 ∵AD=BC AB=CD 又∵AB=AD 定理： 有四条边相等的四边形是菱形。 B A D C 同样的， 我们来研究菱形另一个性质定理的逆命题。 菱形的对角线互相垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确吗? B A D C 操作 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形? 猜想：若平行四边形是菱形，则对角线应互相垂直 B A D C 分析：AD=CD,点D在AC的垂直平分线上 同理可得：点B在AC的垂直平分线上 点A在BD的垂直平分线上 点C在BD的垂直平分线上 7 7 命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：在 中，AC ⊥ BD ABCD ABCD 求证： ABCD是菱形 证明： ∴ ABCD是菱形 又∵ AC ⊥ BD; ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC ∴BA=BC A B C D O 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形, AC ⊥ BD; ∴ ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形) ∴ BD垂直平分AC 菱形常用的判定方法 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 定理：有四条边相等的四边形是菱形。 判断下列说法是否正确？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ） (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形； （ ） (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 （ ） 的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 （ ） 组对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 练习：概念辨析 ∟ A D B C 10 10 例题1 已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F。 说明：四边形AFCE是菱形。 A B E D C F O 1 2 4 3 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 定理：有四条边相等的四边形是菱形。 分析： 垂直平分线 邻边相等 平行四边形？ 垂直平分线 两组邻边相等 第三组邻边相等？ EF垂直平分AC AC垂直平分EF ? OE=OF,AO⊥EF AF=CE？ 例题1 已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F。 说明：四边形AFCE是菱形。 A B E D C F O 1 2 解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC ∴∠1=∠2，∠3=∠4 4 3 ∵ EF垂直平分AC ∴A