7.4.2 二项式定理的性质及应用-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（苏教版2019选择性必修第二册）

7.4.2二项式定理的性质及应用 一、单选题 1．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（       ） A． B．或 C． D．或 2．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．已知0<a<1，方程a|x|=|logax|的实根个数为n，且(x＋1)n＋(x＋1)11=a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11等于 A．1020 B．1021 C．1022 D．1024 4．不等式的解集为，则的展开式中常数项为 A． B． C． D． 5．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为 A．55 B．89 C．120 D．144 6．在的展开式中，记项的系数为，则（       ） A．24 B．80 C．56 D．120 7．已知，则（       ） A． B． C． D． 8．已知，其中为展开式中项的系数，，则下列说法不正确的有（       ） A．， B． C． D．是中的最大项 二、多选题 9．下列关系式成立的是（       ） A． B． C． D． 10．设，下列结论正确的是（       ） A． B． C． D．当时，除以2000的余数是1 11．若，则（       ） A． B． C． D． 12．已知，设，其中则（       ） A． B． C．若，则 D． 三、填空题 13．若函数，其中≤x≤，则的最大值为_______． 14．已知二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的二项式系数之和为，则的最小值为___________ 15．已知，满足，则的展开式中的系数为___________. 16．计算，可以采用以下方法： 构造等式：，两边对x求导， 得， 在上式中令，得．类比上述计算方法，计算____________． 四、解答题 17．己知的展开式中二项式系数和为16． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)设展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求． 18．若的展开式中的常数项为． (1)求a； (2)若，求． 19．已知，． （1）记展开式中的常数项为m，当时，求m的值； （2）证明：当时，在的展开式中，与的系数相同． 20．已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项． 21．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角： （1）求第20行中从左到右的第4个数； （2）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和； （3）在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明. 22．设f(n)＝(a＋b)n（n∈N*，n≥2），若f(n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P． （1）求证：f(7)具有性质P； （2）若存在n≤2016，使f(n)具有性质P，求n的最大值． 23．已知. （1）当时，求的展开式中含项的系数； （2）证明：的展开式中含项的系数为； （3）定义：，化简：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $7.4.2二项式定理的性质及应用 一、单选题 1．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】 根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果. 【解析】 由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大， ，即，，又，或. 故选：D． 2．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 计算，计算，，，根据系数的大小关系得到，解得答案. 【解析】 ，，，，， 第6项的系数最大，，则. 故选：. 【点睛】 本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3．已知0<a<1，方程a|x|=|logax|的实根个数为n，且(x＋1)n＋(