专题9.6 正方形的性质与判定-重难点题型-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）【学科网名师堂】

专题9.6 正方形的性质与判定-重难点题型 【苏科版】 【知识点1 正方形的定义】 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 【知识点2 正方形的性质】 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【题型1 正方形的性质（求角的度数）】 【例1】（2021春•海珠区校级期中）如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE的度数是　 　． 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，进而可求得∠ABE＝15°． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE（180°﹣∠BAE）＝15°， 故答案为：15°． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 【变式1-1】（2021春•黄浦区期末）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE＝75°，则∠AFB＝　 　°． 【分析】根据等腰三角形的性质得∠AED＝∠ADE＝75°，由三角形内角和求出顶角∠DAE的度数，根据正方形的性质得△ABE为等腰三角形，再由直角三角形的两锐角互余得答案． 【解答】解：∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝75°， ∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵∠BAE＝90°+30°＝120°， ∴∠ABE， ∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°． 故答案为：60． 【点评】此题考查了正方形的性质，正方形的四个角都是直角，且各边都相等；在几何证明中常运用等边对等角和等角对等边来证明边相等或角相等；在三角形中，要熟练掌握三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余． 【变式1-2】（2021春•海淀区校级月考）如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝　 　°． 【分析】本题通过正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．进而得到∠ADE＝∠AED＝75°， 从而得到答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°． 又∵三角形ABE是等边三角形， ∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°． ∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°， ∴AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED＝75°， ∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°． 故答案为：45． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【变式1-3】（2021春•大兴区期中）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．连接AE，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数． 【分析】由对称的性质可得AE＝AB，∠EAB＝40°，即可求得∠EAD的度数，根据正方形的性质可得∠ADF＝∠AED，进而可求解． 【解答】解：∵点B关于直线AP的对称点为E， ∴AP是对称轴， ∴∠PAB＝∠PAE＝20°， ∴∠EAB＝2∠BAP＝40°，AE＝AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠EAD＝130°， ∴AE＝AD， ∴∠ADF＝∠AED， ∴∠ADF． 【点评】本题主要考查正方形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，证得AE＝AD是解题的关键． 【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】 【例2】（2021春•崇川区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为　 　．