专题9.5 矩形的性质与判定-重难点题型-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）【学科网名师堂】

专题9.5 矩形的性质与判定-重难点题型 【苏科版】 【知识点1 矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【知识点2 矩形的性质】 ①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【题型1 矩形的性质（求角的度数）】 【例1】（2021春•南京月考）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（　　） A．55° B．40° C．35° D．20° 【分析】由矩形的性质得出OC＝OD，得出∠ODC＝∠OCD＝55°，由直角三角形的性质求出∠ODE＝20°，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠AOD＝110°， ∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD（180°﹣70°）＝55°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°； 故选：C． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1-1】（2021春•天津期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．不能确定 【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，求出AB＝CF＝2，BF＝CE＝1，根据全等三角形的判定推出△ABF≌△FCE，根据全等三角形的性质得出AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，求出∠AFE＝90°，再求出答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，AB＝2， ∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3， ∵点E是CD的中点，FC＝2BF， ∴CE＝DE＝1，BF＝1，CF＝2， ∴AB＝CF＝2，CE＝BF＝1， 在△ABF和△FCE中， ， ∴△ABF≌△FCE（SAS）， ∴AF＝EF，∠BAF＝∠CFE， ∵∠B＝90°， ∴∠BAF+∠AFB＝90°， ∴∠CFE+∠AFB＝90°， ∴∠AFE＝180°﹣（∠CFE+∠AFB）＝180°﹣9°＝90°， ∴△AFE是等腰直角三角形， ∴∠AEF＝45°， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 【变式1-2】（2021春•秦淮区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝　 　． 【分析】先证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BE，再证△BAO是等边三角形，得∠OAB＝60°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OCAC，OB＝ODBD，∠BAD＝90°， ∴OA＝OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵BO＝BE， ∴AB＝BO＝OA， ∴△BAO是等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∴∠CAE＝∠OAB﹣∠BAE＝15°， 故答案为：15°． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点；熟练掌握矩形的性质，证出△BAO为等边三角形是解此题的关键． 【变式1-3】（2021春•苏州期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC，则∠ECD＝　 　°． 【分析】过点C作CM⊥BE交BE于M，先证明△EMC≌△EDC，求得∠DCE＝∠MCE，再证明△BMC为等腰直角三角形，求出∠MCD，最终求得∠ECD． 【解答】解：过点C作CM⊥BE交BE于M，如图， ∵EC平分∠BED， ∴∠CEM＝∠CED， 在△EMC和△EDC中 ， ∴△EMC≌△EDC（AAS）， ∴∠DCE＝∠MCE，MC＝DC＝1， 在Rt△