专题9.4 菱形的性质与判定-重难点题型-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）【学科网名师堂】

专题9.4 菱形的性质与判定-重难点题型 【苏科版】 【知识点1 菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【知识点2 菱形的性质】 ①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 【题型1 菱形的性质（求角度）】 【例1】（2020秋•萍乡期末）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数． 【解答】解：如图： ∵ABCD是菱形 ∴AD＝AB，BO＝OD， ∴∠BAD＝2∠CAD＝50° ∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）÷2＝65° ∵DH⊥AB，BO＝DO ∴HO＝DO ∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25° 故选：B． 【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-1】（2021•南岗区模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【解答】解：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°， ∵P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°， ∴∠PDC＝90°， ∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°， 在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°． 故选：D． 【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 【变式1-2】（2021春•海淀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC为　 　°． 【分析】由全等三角形的性质可证△AOM≌△CON，可得AO＝CO，由等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC，BC∥AD， ∴∠MAO＝∠NCO，∠BCA＝∠CAD， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴AO＝CO， 又∵AB＝BC， ∴BO⊥AC， ∴∠BCO＝90°﹣∠OBC＝28°＝∠DAC， 故答案为：28． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 【变式1-3】（2021春•汉阳区期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的大小是　 　． 【分析】根据菱形的性质得出DC＝BC，∠DCN＝∠BCN，∠CABDAB＝55°，∠ABC＝∠ADC，DC∥AB，求出∠ADC＝∠ABC＝70°，根据全等三角形的判定得出△DCN≌△BCN，根据全等三角形的性质得出∠CDN＝∠CBN，根据线段垂直平分线的性质得出AN＝BN，求出∠NBA＝∠CAB＝55°，再求出答案即可． 【解答】解：连接BN， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝BC，∠DCN＝∠BCN，∠CABDAB55°，∠ABC＝∠ADC，DC∥AB， ∴∠CDA+∠DAB＝180°， ∵∠BAD＝110°， ∴∠ADC＝180°﹣110°＝70°， ∴∠ABC＝70°，