2.4尺规作图(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年七年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

2.4尺规作图 1.定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图. 注意: (1)只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题. (2)直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上面画刻度. (3)圆规可以开至无限宽,但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度. 直尺的功能 (1) 在两点间连接一条线段;(2)过平面上的两点画直线;(3)作射线或线段. 圆规的功能 (1)以任意一点为圆心,任意长为半径作圆或圆弧;(2)在直线上截取一条线段,使它等于已知线段. 2.做已知角示例: 题型1:识别尺规作图 1.在下列各题中,属于尺规作图的是( ) A.利用三角板画45°的角 B.用直尺和三角板画平行线 C.用直尺画一工件边缘的垂线 D.用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题. 【解答】解:A、利用三角板画45°的角不符合尺规作图的定义,错误; B、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义,错误; C、用直尺画一工件边缘的垂线不符合尺规作图的定义,错误; D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义,正确. 故选:D. 【变式1-1】下列作图属于尺规作图的是( ) A.用量角器画出∠AOB的平分线OC B.借助直尺和圆规作∠AOB,使∠AOB=2∠α C.画线段AB=3cm D.用三角尺过点P作AB的垂线 【分析】根据尺规作图的定义即可判定. 【解答】解:根据尺规作图的定义可知:借助直尺和圆规作∠AOB,使∠AOB=2∠α属于尺规作图, 故选:B 【变式1-2】下列属于尺规作图的是( ) A.用刻度尺和圆规作△ABC B.用量角器画一个300°的角 C.用圆规画半径2cm的圆 D.作一条线段等于已知线段 【分析】根据尺规作图的定义分别分析得出即可. 【解答】解:A、用刻度尺和圆规作△ABC,而尺规作图中的直尺是没有长度的,错误; B、量角器不在尺规作图的工具里,错误; C、画半径2cm的圆,需要知道长度,而尺规作图中的直尺是没有长度的,错误; D、正确. 故选:D. 题型2:用尺规做一个角等于已知角 2.如图,已知∠AOB,求作∠ECF,使∠ECF=∠AOB.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) 【分析】首先画射线CF;再以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于E、D;以C为圆心,OD长为半径画弧,然后再以N为圆心ED长为半径画弧,交前弧于M,过M作射线AE可得∠ECF. 【解答】解:如图所示:∠ECF即为所求. 【变式2-1】已知:∠AOB. 利用尺规作: ∠A′O′B′,使∠A′O′B′=2∠AOB. 【思路点拨】先作一个角等于∠AOB,在这个角的外部再作一个角等于∠AOB,那么图中最大的角就是所求的角. 【答案与解析】 作法一:如图(1)所示,(1)以点O圆心,任意长为半径画弧,交OA于点A′,交OB于点C;(2)以点C为圆心,以CA′的长为半径画弧,�交前面的弧于点B′; (3)过点B′作射线O B′,则∠A′O′B′就是所求作的角. 作法二:如图(2)所示,(1)画射线O′A′; (2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D; (3)以点O′为圆心,以OC的长为半径画弧,交O′A�′于点E; (4)以点E为圆心,以CD的长为半径画弧,交前面的弧于点F,再以点F为圆心,�以CD的长为半径画弧,交前面的弧于点B′; (5)画射线O′B′,则∠A′O′B′就是所求作的角. 【变式2-2】如图,已知∠AOB,点P是OA边上的一点. (1)在OA的右侧作∠APC=∠AOB(用尺规作图法,保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下,判断直线PC与直线OB的位置关系,并说明理由. 【分析】(1)根据作一个角等于已知角的方法,即可得到∠APC; (2)根据同位角相等,两直线平行,即可得到直线PC与直线OB的位置关系. 【解答】解:(1)如图,∠APC就是所要求作的角; (2)直线PC与直线OB的位置关系为:PC∥OB, 理由如下: 由(1)作图可得:∠APC=∠AOB, ∴PC∥OB 题型3:用尺规作已知角的和差 3.如图,已知∠1,∠2,求作一个角,使它等于2∠1+∠2.(不写作法,保留作图痕迹) 【分析】先作∠COD=∠1和∠COB=∠2,再作∠AOD=∠1,则∠AOB满足条件. 【解答】解:如图,∠AOB为所作. 【变式3-1】如图,已知∠1,∠2,求作一个角,使它等于2∠1﹣∠2.(不写作法,保留作图痕迹) 【分析】如图,作∠AOB=2∠1,∠BOC=∠2,∠AOC即为所求.