专题检测(九)空间几何体　(Word练习)-2022高考数学(文科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(九)　空间几何体 1．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. (1)证明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E­BB1C1C的体积． (1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1， 由于BE⊂平面ABB1A1， 故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1， 所以BE⊥平面EB1C1. (2)解：由(1)知∠BEB1＝90°. 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E， 所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°， 故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6. 如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3. 所以四棱锥E­BB1C1C的体积 V＝×3×6×3＝18. 2．(2021·河南郑州二模)在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN, 证明：(1)点D在平面B1MN内；(2)MN⊥BD. 证明：(1)连接MD， 因为正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中， 点M，N分别在棱AA1，CC1上， 且AM＝2MA1，C1N＝2CN， 所以由平行线性质定理得到MD∥B1N， 所以四边形MDNB1是平面图形， 所以点D在平面B1MN内． (2)连接AC，BD， 因为正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中， 点M，N分别在棱AA1，CC1上， 所以AC⊥BD，AA1⊥BD， 又因为AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1， 所以BD⊥平面ACC1A1， 因为MN⊂平面ACC1A1，所以MN⊥BD. 3．(2021·四川攀枝花二模)如图，△ABC的外接圆O的直径AB＝2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，CE＝2，BC＝BD＝1. (1)求证：平面AEC⊥平面BCED. (2)若DM＝DE，求三棱锥D­ACM的体积． (1)证明：∵△ABC的外接圆O的直径为AB， ∴AC⊥BC. 又因为EC⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以EC⊥BC. 又∵AC∩EC＝C，∴BC⊥平面ACE，又BC⊂平面BCED, ∴平面AEC⊥平面BCDE. (2)解：∵DM＝DE，∴VD­ACM＝VE­ACM＝VM­ACE. ∵平面AEC⊥平面BCDE， 过M作MN垂直于CE，交CE于N，则MN∥BC， 由(1)知BC⊥平面ACE，故MN⊥平面ACE，则MN为锥体的高， 且MN＝BC＝， ∴VM­ACE＝××2×＝⇒VD­ACM＝. 4．(2021·宁夏银川一中二模)如图，在直三棱柱A′B′C′­ABC中，AD＝A′D，E为BC′上的一点，AB＝AC＝BC＝a，CC′＝h. (1)若BE＝EC′，求证：DE⊥平面BCC′B′. (2)平面BC′D将棱柱A′B′C′­ABC分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为V1，下面一个几何体的体积为V2，求的值． (1)证明：如图，取BC中点F，连接AF，EF， 在直三棱柱A′B′C′­ABC中， ∵BE＝EC′，∴EF∥CC′，EF＝CC′， ∵AD＝A′D，∴AD＝CC′且AD∥CC′， ∴EF∥AD且EF＝AD. ∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF， 由题意△ABC为正三角形， 侧棱AA′，BB′，CC′两两平行且都垂直于平面ABC， ∴AF⊥BC，AF⊥BB′， ∵BC，B′B⊂平面BCC′B′， BC∩BB′＝B，∴AF⊥平面BCC′B′， 又DE∥AF，∴DE⊥平面BCC′B′. (2)解：正三棱柱A′B′C′­ABC的底面积S＝×a×a＝a2，则体积V＝a2h. 下面一个几何体为四棱锥B­ACC′D， 底面积S梯形ACC′D＝××a＝ah， 因为平面ABC⊥平面ACC′A′，过点B作△ABC边AC上的高线BG，如图， 由平面与平面垂直的性质可得BG垂直于平面ACC′A′， 故四棱锥B­ACC′D的高等于a， 则V2＝×ah×a＝a2h， 从而V1＝V－V2＝a2h－a2h＝a2h，∴＝1. 5．(2021·安徽黄山二模)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，E是CD的中点，F是底面A1B1C1D1上的动点，且满足AF⊥BE. (1)求证：平面AEF⊥平面ABCD； (2)当AF＝EF时，求点C到平面BEF的距离． (1)证明：∵AE＝BE＝2，AB＝4， ∴AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE， 又∵BE⊥AF，AE∩AF＝A，∴BE⊥平面AEF， 又∵BE⊂平面ABCD，∴平面AEF⊥平面ABCD. (2)解：取AE中点G，连接FG， ∵AF＝EF，∴AE⊥FG， 由(1)知平面AEF⊥平面ABCD，故FG⊥平面ABCD， ∴FG＝2，