专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题 1．定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等. 2．定点问题解决步骤： ①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程； ②根与系数关系列出两根和及两根积； ③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积； ④整理③所得表达式探求其恒成立的条件． 3．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 4．存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下： ①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示； ②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数． 5．求定线问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关． ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线． 1．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到的距离比它到直线的距离小1． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点F的直线与曲线C交于A，B两点，，记直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值． 【试题来源】甘肃省金昌市2021-2022学年高三上学期第一次联考 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意，点P到的距离等于它到直线的距离， 所以点P的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以动点P的轨迹C的方程为． （2）显然，直线AB的斜率存在，设其方程为，，， 由得，，，， 所以 ， 故为定值2． 2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由． 【试题来源】江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期末 【答案】（1）y2＝4x；（2）直线m恒过定点(，)，理由见解析． 【解析】（1）由题意得该抛物线焦点到准线的距离为－(－)＝p＝2， 所以该抛物线的方程为y2＝4x． （2）①当直线l1， l2的斜率都存在时， 设直线l1：，直线l2：y－1＝k2（x－1）， 由，消去y得，显然， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，      ，， 则以AB为直径的圆的方程为， ， 即＋＋＝0，                                    同理，以CD为直径的圆的方程为＋＋＝0， 所以两圆公共弦所在的直线m的方程为． 令，解得，所以直线恒过定点(，)．   ②当直线l1，l2的斜率中有一个不存在时， 由对称性不妨设l1的斜率不存在，l2的斜率为k2， 则以AB为直径的圆的方程为， 以CD为直径的圆的方程为＋＋＝0， 所以两圆公共弦所在的直线m的方程为， 此时直线m恒过定点（，）， 综上得直线m恒过定点（，）． 3．已知椭圆的一个焦点到双曲线渐近线的距离为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）若四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，直线AC和BD的斜率之积－，证明：四边形ABCD的面积为定值． 【试题来源】江西省上饶市六校2022届高三第一次联考 【答案】（1），（2）证明见解析. 【解析】（1）不妨取左焦点（－c，0）， 到渐近线的距离为，解得，所以， 因为点（）是椭圆上一点，所以，解得， 因此，椭圆的方程为； （2）当直线AB的斜率不存在时，不妨设 ， 则 ，又 ，解得 ， 根据椭圆的对称性，不妨取 ，则， 则 ，所以 ； 当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，设点 联立，得， 则， 因为，得，即， 所以，，解得， ， 原点到直线AB的距离为， 因为，且， 所以（定值）， 综上述四边形ABCD的面积为定值． 4．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围． 【试题来源】吉林省长春市十一高中2021-2022学年高三上学期第二学程考试 【答案】（1）；（2）为定值2． 【解析】（1）因点在抛物线上，则，解得， 所以抛