课时分层作业 4 等差数列的性质-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(四)　等差数列的性质 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 A　[由a1＋a9＝2a5＝10得a5＝5，故选A.] 2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14 B．21 C．28 D．35 C　[由题意可知a3＋a4＋a5＝3a4＝12，即a4＝4， 又a1＋a2＋…＋a7＝3(a1＋a7)＋a4＝7a4， ∴a1＋a2＋…＋a7＝7×4＝28，故选C.] 3．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝2n－5 B．an＝2n－3 C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 B　[∵a－1，a＋1,2a＋3是等差数列{an}的前三项，∴2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，解得a＝0， ∴a1＝－1，a2＝1，a3＝3， ∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.故选B.] 4．下列说法中正确的是(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 C　[由a，b，c成等差数列知2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝a＋2＋c＋2，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．] 5．在古老的数学著作中，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的1份为(　　) A. B. C. D. A　[设五个人分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100，∴a＝20，由(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝， ∴最小的一份为a－2d＝20－＝.故选A.] 二、填空题 6．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________． －3　[设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝＝－3.] 7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________. 100　[∵{an}，{bn}都是等差数列， ∴{an＋bn}也是等差数列． 又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100， ∴an＋bn＝100，故a37＋b37＝100.] 8．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图像与x轴的交点的个数为________． 1或2　[∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c， ∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0. ∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图像与x轴的交点个数为1或2.] 三、解答题 9．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解]　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列， ∴d＝1.故所求的四个数为－2,0,2,4. 10．(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值； (2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值． [解]　(1)法一：根据等差数列的性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6， 由a2＋a6＋a10＝1， 得3a6＝1，解得a6＝， ∴a4＋a8＝2a6＝. 法二：设公差为d，根据等差数列的通项公式， 得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d，由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝. ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝. (2)设公差为d，∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2， ∴a2＝5. 又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列， ∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 11．(多选题)设{an}是等差数列，则下列结论中错误的是(　　) A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0 B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0 C．若0<