课时分层作业 2 数列中的递推-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(二)　数列中的递推 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　) A．1,2,3,4，… B．1, ，2,2，… C.，2, ，2，… D．0, ，2,2，… B　[由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的倍为后一项，所以只有B符合．] 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n(n∈N＋)，则a2＋a18等于(　　) A．33 B．34 C．35 D．36 B　[a2＝S2－S1＝(22－4)－(1－2)＝1， a18＝S18－S17＝(182－36)－(172－34)＝33， ∴a2＋a18＝1＋33＝34，故选B.] 3．已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n≥2)，则a4等于(　　) A. B. C．－ D. C　[由题知a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.] 4．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则an与an－1的关系为(　　) A．an＝2an－1 B．an＝an－1 C．an＝－2an－1 D．an＝－an－1 A　[∵Sn＝2an－2，∴当n＝1时，a1＝2a1－2，即a1＝2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，故选A.] 5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n A　[an＋1－an＝ln＝ln，∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，…，a3－a2＝ln ，a2－a1＝ln 2.各式相加后得an＝ln＋ln＋…＋ln＋ln 2＋a1＝ln＋2＝ln n＋2.] 二、填空题 6．已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5＝________. 31　[因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3，a3＝7，a4＝15，所以a5＝2a4＋1＝31.] 7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n，则数列{an}的通项公式an＝________. 1　[当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝1.(*) 显然n＝1时满足(*)式， ∴an＝1.] 8．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系可以是________． an＝2n＋1，n∈N＋　[a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，an＝2n＋1，n∈N＋.] 三、解答题 9．已知数列{an}的前n项和Sn分别是： (1)Sn＝n2＋n＋1； (2)Sn＝2n－1.求通项an. [解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n. ∵a1不适合an， ∴an＝ (2)当n＝1时，a1＝S1＝1. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1. ∵a1适合an， ∴an＝2n－1. 10．已知各项均不为零的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N＋)，求数列{an}的通项公式． [解]　∵anan－1＝an－1－an，且an≠0， ∴－＝1， ∴当n≥2时， ＝2＋ ＝2＋n－1 ＝n＋1. ∴an＝(n≥2)， 又n＝1时，a1＝满足上式，故an＝. 11．(多选题)已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则下列说法正确的有(　　) A．a2＝－ B．a2＝ C．a2 021＝2 D．a2 021＝－2 AC　[法一：由已知可得，a1＝2，a2＝－，a3＝2，a4＝－，∴{an}是周期为2的数列，则a2 021＝a1 010×2＋1＝a1＝2. 法二：a2＝－＝－， ∵an＝－(n≥2)，∴an＋2＝－＝an，∴{an}是周期为2的数列，则a2 021＝a1 010×2＋1＝a1＝2.] 12．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于(　　) A．2n B. C．2n－1 D．2n－1 C　[由an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)， 得an－1＝a0＋a1＋…＋an－2(n≥2)， 两式相减得，an＝2an－1， 即＝2(n≥2)， 则an＝a1···…·＝a1·2n－1， 又a1＝a0＝1，∴an＝2n－1(n≥2)． 又∵a1＝1也适合，∴an＝2n－1.] 13．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，则an＝_______. 　[由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×⇒＝.又∵a1＝，∴a