课时分层作业 1 数列的概念-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(一)　数列的概念 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．下列数列中，既是递增数列，又是无穷数列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， C　[D是有穷数列，故D错误；A、B是递减数列，故A、B错误；故选C.] 2．下面有四个结论，其中叙述正确的有(　　) ①数列的通项公式是唯一的； ②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图像表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ B　[①数列的通项公式不唯一，错误，②正确，③正确，④数列不一定有通项公式．] 3．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 C　[由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.] 4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 A　[an＝＝1－， 当n≥2时，an－an－1＝1－－ ＝－＝>0，所以{an}是递增数列．] 5．数列，，，，…的第10项是(　　) A. B. C. D. C　[由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝. ∴a10＝＝，故选C.] 二、填空题 6．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，________，3，，…. 　[由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为.] 7．数列11,103,1 005,10 007，…的一个通项公式是________． an＝10n＋2n－1　[a1＝10＋1＝101＋1， a2＝100＋3＝102＋(2×2－1)， a3＝1 000＋5＝103＋(2×3－1)， … 所以an＝10n＋2n－1.] 8．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第________项． 2或6　[令an＝n2－8n＋15＝3，即n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6.] 三、解答题 9．写出下面各数列的一个通项公式． (1)，，，，，…； (2)－1，，－，，－，，…； (3)6,66,666,6 666，…. [解]　(1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21,22,23,24,25，所以它的一个通项公式为an＝. (2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6，分子依次为1,3,1,3,1,3，所以它的一个通项公式为 an＝ (3)这个数列的前4项可写为(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)， 所以它的一个通项公式为an＝(10n－1)． 10．已知数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2. (1)－60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由； (2)当n分别为何值时，an＝0，an>0； (3)当n为何值时，an取得最大值？并求出最大值． [解]　(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0， 解得n＝10或n＝－9(舍去)， ∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60. (2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0， 解得n＝6或n＝－5(舍去)， 即当n＝6时，an＝0. 令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0， 解得－5<n<6. 又n∈N＋， ∴当n＝1,2,3,4,5时，an>0. (3)an＝30＋n－n2＝－2＋， ∵n∈N＋， ∴当n＝1时，an取得最大值，最大值为30. 11．数列0.7,7.7,77.7,777.7，…的一个通项公式是an＝(　　) A.(10n－1) B.(10n－1) C.(10n－1) D.(10n－1) D　[代入n＝1检验，排除A、B、C.] 12．(多选题)已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值可以为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 AB　[an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可，故选AB.] 13．(一题两空)已知数列{an}，an＝an＋2m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则m＝________，a3＝________. 　2　[∴a2－a＝2， ∴a＝2或－1， 又a<0， ∴a＝－1. 又a＋2m＝2， ∴m＝， ∴an＝(－1)n＋3， ∴a3＝(－1)3＋3＝2.] 14．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线