5.2.1 第2课时 等差数列的性质-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

第2课时　等差数列的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解等差中项的概念．(重点) 2．掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点) 3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点) 1.借助等差数列中项的学习，提升数据分析的素养． 2．通过等差数列性质的学习，培养数学运算的素养. 高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100这道题目的？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？ 1．等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝. 在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项． 思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？ [提示]　是． 2．等差数列的性质 {an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. ①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap＋aq＝2as. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 思考2：在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？ [提示]　令s＝t＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令s＝t＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立． 拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (2)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列． (3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． (4){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9. (　　) (2)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，a4，…是等差数列． (　　) (3)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． (　　) (4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等差数列{an}中，若a3＝5，a5＝7，则a7＝(　　) A．－1 B．9 C．1 D．6 B　[由题意可知a3＋a7＝2a5，∴a7＝2a5－a3＝14－5＝9，故选B.] 3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 B　[在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.] 4．17＋，13－的等差中项为________． 15　[设A为其等差中项，则A＝＝＝15.] 等差中项及其应用 【例1】　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列； (2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值． [解]　(1)∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项． ∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项， ∴c＝＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7. (2)由x1＝3，得2p＋q＝3， ① 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4， 得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1， ② 将②代入①，得p＝1. 所以p＝q＝1. 三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2n∈N＋. 1．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A. B. C. D. A　[因为a＋b＝＋ ＝＝＝2， 所以a，b的等差中项为.] 等差数列性质的应用 【例2】　在公差为d的等差数列{an}中． (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d. [思路点拨]　解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决． [解]　法一：(1)化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋