5.2.1 第1课时 等差数列的定义-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

5.2　等差数列 5．2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点) 1.借助等差数列概念的学习，培养数学抽象的素养． 2．通过等差数列通项公式的求解与运用，提高数学运算的素养. 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？ 1．等差数列的概念 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差． 拓展：等差数列定义的理解 (1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 2．等差数列的通项公式及其推广 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.该式可推广为an＝am＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)． 思考：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？ [提示]　d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数． 3．等差数列的单调性 等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数列4,4,4，…是等差数列． (　　) (2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4，则{an}(n>4)一定是等差数列． (　　) (3)等差数列{an}中，a1，n，d，an任给三个，可求另一个． (　　) (4)等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列数列中不是等差数列的为(　　) A．6,6,6,6,6 B．－2，－1,0,1,2 C．5,8,11,14 D．0,1,3,6,10 D　[A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0； B中给出的数列是等差数列，公差为1； C中给出的数列是等差数列，公差为3； D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．] 3．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________. 6－2n　[∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.] 4．在等差数列{an}中，若a2＝1，a5＝3，则公差d＝________. 　[d＝＝＝.] 等差数列的概念 【例1】　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，在数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是不是等差数列． [思路点拨]　可以利用a1和d写出bn的通项公式，也可以直接利用定义判断bn＋1－bn是不是常数． [解]　法一：由题意可知an＝a1＋(n－1)d(a1，d为常数)，则bn＝3an＋4＝3[a1＋(n－1)d]＋4＝3a1＋3(n－1)d＋4＝3dn＋3a1－3d＋4. 由于bn是关于n的一次函数(或常数函数，当d＝0时)， 故{bn}是等差数列． 法二：根据题意，知bn＋1＝3an＋1＋4，则bn＋1－bn＝3an＋1＋4－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d(常数)． 由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列． 等差数列的判定方法有以下三种： 1定义法：an＋1－an＝d常数n∈N＋⇔{an}为等差数列； 2等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N＋⇔{an}为等差数列； 3通项公式法：an＝an＋ba，b是常数，n∈N＋⇔{an}为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列(　　) A．是公差为4的等差数列 B．是公差为3的等差数列 C．是公差为－3的等差数列 D．是首项为4的等差数列 C　[∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3. ∴{an}是公差为－3的等差数列．] 2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，试证明数列是等差数列． [证明]　∵an＋1＝， ∴＝＝＋， 即－＝2，∴是首项为，公差d＝2的等差数列． 等差数列的通项公式 [探究问题] 1．若{an}是等差数列，试用am，an表示公差d，其中n≠m. [提示]　d＝. 2．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则该数列是等差数列吗？ [提示]　是．因为an＋1－an＝k(n＋1