5.1.2 数列中的递推-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

5.1.2　数列中的递推 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解递推公式的含义．(重点) 2．掌握递推公式的应用．(难点) 3．会利用an与Sn的关系求通项公式．(易错点) 1.通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助递推公式的应用学习，提升数据分析的素养. 古希腊的毕达哥拉斯学派将1,3,6,10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示．把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列{an}． 问题：a2与a1，a3与a2，a4与a3之间分别存在怎样的等量关系？ 1．数列的递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)． 拓展：数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 2.数列的前n项和 (1)一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． (2)Sn与an的关系 an＝ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)递推公式是表示数列的一种方法． (　　) (2)所有的数列都有递推公式． (　　) (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋. (　　) (4)若数列{an}的前n项和为Sn，则a1＝S1. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材P9例1改编)数列1，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＋1＝an D．an＋1＝2an C　[由题意可知C选项符合，故选C.] 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a2＝________. 3　[a2＝S2－S1＝4－1＝3.] 4．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a2__________. 3　[因为a1＝－，an＋1＝1－， 所以a2＝1－＝1＋2＝3.] 由递推关系写出数列的项 【例1】　(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2 019＝2，则a2 020＝(　　) A．－ B. C．－ D. (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　) A．31 B．32 C．61 D．62 (1)B　(2)A　[(1)由anan＋1＝1－an＋1， 得an＋1＝， 又∵a2 019＝2， ∴a2 020＝，故选B. (2)∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6， ∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31，故选A.] (由递推公式写出数列的项的方法 1根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可. 2若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1. 3若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝. 1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项． [解]　∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝＝， a3＝＝＝， a4＝＝＝， a5＝＝＝. 故该数列的前5项为1，，，，. 已知Sn求通项公式an 【例2】　(教材P12例3改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2. [思路点拨]　应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解，注意检验n＝1时a1是否满足an(n≥2)． [解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)] ＝4n－5.(*) 当n＝1时，a1满足(*)式，故an＝4n－5. (2)当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.(*) 当n＝1时，a1不满足(*)式， 故an＝ (变条件)若把本例(1)中的Sn换为Sn＝2n2－3n＋1，再求{an}的通项公式． [解]　当n＝1时，a1＝S1＝2－3＋1＝0， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.(*) 显然n＝1不满足(*)式， 故an＝ (已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： 1当n＝1时，a1＝S1. 2当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝