5.1.1 数列的概念-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解数列的概念．(重点) 2．掌握数列的通项公式及应用．(难点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(易错点) 1.通过数列概念的学习，培养数学抽象的素养． 2．通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理的数学素养. “微信朋友圈”中的数学 在微信朋友圈，信息的传播速度是惊人的，正所谓“一传十，十传百，百传千，千传万，…”我们能否用下面一列数来记录这一传播过程： 1,10,100,1 000,10 000，… 1．数列的概念及一般形式 思考1：数列1,2,3与数列2,1,3相同吗？ [提示]　不同，顺序不一样． 2．数列的分类 类别 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 3.数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式． 思考2：数列一定有通项公式吗？ [提示]　不一定． 4．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法 思考3：数列所对应的图像是连续的吗？ [提示]　不连续． 拓展：(1)解读数列的通项公式 ①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式． ②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． ③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的． (2)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不构成数列． (　　) (2){an}与an是一样的，都表示数列． (　　) (3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列． (　　) (4)数列1,2,3,4可表示为{1,2,3,4}． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材P7练习AT2(3)改编)已知数列{an}的通项公式为an＝，那么a5＝(　　) A. B. C. D. B　[∵an＝，∴a5＝＝，故选B.] 3．数列0,1,2,3,4，…的一个通项公式可以为(　　) A．an＝n－1 B．an＝n C．an＝n＋1 D．an＝n2－1 A　[结合选项可知，an＝n－1，故选A.] 4．下列说法正确的是________(填序号)． ①1,1,1,1是有穷数列； ②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列； ③数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列． ①②　[因为1,1,1,1只有4项，所以①正确；②正确；数列1,2,3,4，…，2n共有2n项，是有穷数列，所以③错误．] 数列的概念及分类 【例1】　已知下列数列： ①2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1,0，－1，…，sin，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号) ①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④　[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．] 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点： ①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)； ④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 2．判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点．判断是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看