专题1.10 圆锥曲线-抛物线-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.10 圆锥曲线-抛物线 1．解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 2．直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法： ①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题． ②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． ③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系. 3．圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： ①几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； ②代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 4．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单． 1．已知过点的直线与抛物线交于不同的两点M，N，过点M的直线交C于另一点Q，直线MQ斜率存在且过点，抛物线C的焦点为F，的面积为1． （1）求抛物线C的方程． （2）问：直线QN是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【试题来源】河南省濮阳市2021-2022学年高三下学期开学摸底考试 【答案】（1），（2）直线QN过定点． 【解析】（1）由题可知，由， 解得，所以抛物线C的方程为． （2）设，，，直线AM的方程为， 联立消去y得， 则，，由题可知， 所以直线的方程为， 代入得，得，所以， 所以（*），而直线QN的方程为， 可得，结合（*）式可知直线QN过定点． 2．已知抛物线上的点到准线的距离为5． （1）求抛物线C的方程； （2）过点的直线与抛物线C交于A，B两点，与x轴交于点，圆与x轴交于点M，求面积的最小值． 【试题来源】陕西省咸阳市武功县2022届高三下学期第二次质量检测 【答案】（1），（2） 【解析】（1）由抛物线C的方程可得其准线方程为， 依题意得，解得，所以抛物线C的方程为． （2）依题意可设直线的方程为， 联立消去x得． 设，则． 所以． 依题意，所以． 因为， 所以，即面积的最小值为． 3．已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且|NF|＝． （1）求抛物线C的方程； （2）过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值． 【试题来源】陕西省咸阳市武功县2022届高三下学期第二次质量检测 【答案】（1）x2＝2y；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为点N（t，1）在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝， 所以|NF|＝，解得p＝1， 所以抛物线C的方程为x2＝2y； （2）依题意，设直线l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得x2﹣2kx﹣2＝0． 则x1x2＝﹣2，所以． 故k1k2为定值． 4．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合． （1）求抛物线的方程； （2）过点作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，过，作的垂线分别与轴交于，，求四边形面积的最小值． 【试题来源】河南省焦作市2021-2022学年高三第一次模拟考试 【答案】（1），（2） 【解析】（1）双曲线方程化为标准方程是， 其焦点坐标为，， 因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合， 所以，，，故抛物线的方程为． （2）设直线，代入抛物线方程得， 设点，，则，， 直线，所以点，同理可得， 所以四边形的面积， ， 由抛物线的对称性，只需考虑的情形， 则，所以， 令，得，当时，，当时，， 所以当时，四边形的面积最小，最小值为． 5．已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，且右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求椭圆C的方程； （2）过左焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，求面积的取值范围． 【试题来源】山西省吕梁市2022届高三上学期第一次模拟 【答案】（1），（2） 【解析】（1）易知抛物线的焦点为，所以， 因为离心率，所以， 因为所以椭圆C的方程为 （2）由题意设直线方程为，设， 与椭圆方程联立消去得，易知 所以， 所以 因为到直线的距离为 所以 设，则， 设，则，所以在单调递增， 所以，即三角形面积的取值范围为. 6．已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一点，PF与y轴垂直，Q为y轴上一点，且，若． （1）求； （2）设点，过点作两条不同的直线分别交抛物线C于A，B两点和D，E两点，且满足，求证为定值． 【试