专题1.9 圆锥曲线-双曲线-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.9 圆锥曲线-双曲线 1．解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 2．直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法： ①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题． ②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． ③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系. 3．解决中点弦问题的两种方法： ①根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； ②点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 1．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为．右焦点为；点在双曲线上，直线与双曲线交于两点．且当直线的斜率为1时，． （1）求双曲线的方程； （2）若，求到直线的距离． 【试题来源】江苏省徐州市2021-2022学年高三上学期期中 【答案】（1），（2）. 【解析】（1）由可得，则， 又点在双曲线上，则，则可解得， 所以双曲线的方程为； （2）当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为，设， 联立方程可得， 则且，， 因为，所以，即， 则，即， 整理可得， 点O到直线l的距离， 当直线MN的斜率不存在时，设直线为，则， 直线代入双曲线可得， 若，则，解得，则点O到直线l的距离为， 综上，点O到直线l的距离为． 2．在平面直角坐标系中，已知圆：，，动圆经过点且与圆相外切，记动圆的圆点的轨迹为． （1）求的方程； （2）试问，在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于，两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【试题来源】广东省六校2022届高三上学期第三次联考 【答案】（1）（），（2）不存在，理由见解析 【解析】（1）设动圆的半径长为， 则，，． 因此，圆心的轨迹为以、为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 设的方程为（）， 则根据双曲线定义，，， 因此的方程为（）． （2）不存在满足条件的点，理由如下： 假设存在满足条件的点，设点的坐标为，直线的斜率为， 则直线的方程为， 由消去并整理，得， 设、，则，，（*） 由，得，即， 将，代入上式并化简， 得． 将（*）式代入上式，有，解得． 而当直线交于，两点时，必须有且． 当时，，， 由无解，则当时，不符合条件． 因此，不存在满足条件的点． 3．已知双曲线：的焦距为，其中一条渐近线的方程为．以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点О的动直线与椭圆E交于A，B两点． （1）求椭圆E的方程； （2）若点Р为椭圆E的左顶点，，求的取值范围． 【试题来源】广东省深圳市福田区红岭中学2022届高三上学期第一次考试 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为曲线：的焦距为， 所以，所以， 因为一条渐近线的方程为，所以， 所以，解得 因为以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为， 所以椭圆的方程为 （2）由（1）知，由得， 设，则， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为 4．已知双曲线（a，b>0）的渐近线方程为，左焦点为F（-2，0）． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点Q（2，0）作直线l与双曲线C右支交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【试题来源】广西玉林市2022届高三上学期教学质量监测 【答案】（1），（2） 【解析】（1）因为双曲线（a，b>0）的渐近线方程为， 左焦点为F（-2，0）．所以， 解得c=2，a=，b=1．所以双曲线的标准方程为． （2）设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为，所以①，·· 联立直线与双曲线方程，化简整理，可得， 由根与系数关系，可得②，③， 由①②③得，此时检验得， 所以直线l方程为． 5．在平面直角坐标系中，设双曲线以椭圆：长轴的两个端点为焦点，以的焦点为顶点． （1）求的标准方程； （2）过的直线与相切于右支，且与交于点，，求的面积． 【试题来源】江苏省南京市中华中学2021-2022学年高三上学期期中 【答案】（1），（2） 【解析】（1）由题意得双曲线，则， 所以双曲线的方程为； （2）由题意设过直线l方程为， 与双曲线方程联立，得， 因为直线l与双曲线相切，所以，解得， 因为直线l与右支相切，所以直线l方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，则， ，原点到直线l的距离