6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

6.3 平面向量基本定理 及坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 问题导入 思考1：已知，你能得出的坐标吗？ 即 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 例析 例6.已知求的坐标. 解： 新知探索 思考2：如何用坐标表示两个向量共线的条件？ 设其中我们知道，共线的充要条件是存在实数，使. 如果用坐标表示，可写为 即消去，得. 这就是说，向量共线的充要条件是. 例析 例7.已知且，求. 解：因为， 所以0. 解得 例析 例8.已知判断三点之间的位置关系. 解：在平面直角坐标系中作出三点(如图).观察图形，我们猜想三点共线.下面来证明. 因为 又 所以//. 又直线，直线有公共点， 所以三点共线. 例析 例9.设是线段上的一点，点，的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标； 解：(1)如图，由向量的线性运算可知 . 所以，点的坐标是. 若点，的坐标分别为，线段的中点的坐标为，则. 为线段的中点坐标公式. 例析 (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 解：(2)如图，当是线段的一个三等分点时，有两种情况， 即或. 如果，那么 ， 即点的坐标是. 同理，如果，那么点的坐标是. 新知探索 思考3：如图，线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么？ 解：由已知，可以设点，将用坐标表示： 由此可得： 于是，，. 即点的坐标是 hp (h) - 新知探索 辨析1：判断正误. (1)向量与向量共线. ( ) (2)向量与向量共线. ( ) (3)如果，那么向量与向量共线. ( ) 答案：√，√，√. 辨析2：已知，且，，若，则等于( ). A. B. C. D. 答案：A. 练习 题型一：平面向量数乘运算的坐标表示 例1.已知，，求： (1)(2)(3) 解：(1) (2). (3). 练习 变1.已知，，，且，，求点的坐标. 解：∵，，， ∴， ∵， ∴. 设 ∴ ∴解得 ∴. 练习 方法技巧： 向量数乘坐标运算的三个关注点 (1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用； (2)注意向量加、减数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题； (3) 解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题. 练习 题型二：平面向量共线的判定 例2.已知，，，，判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？ 解： 法一：∵， ∴与共线，通过观察可知，和方向相反. 法二：∵， ∴与共线且方向相反. 练习 变2.(多选)下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ). A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：ABC. 解：要满足题意，若，则与不平行，即.对于A，，所以A不平行； 对于B，，所以B不平行； 对于C，，所以C不平行； 对于D，，所以D平行.故选ABC. 练习 方法技巧： 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由推出. (2)利用向量共线的坐标表达式直接求解. 练习 题型三：平面向量共线的应用 例3.[三点共线问题](1)已知，，，求证：三点共线. (2)已知，，若，，且三点共线，求的值. 解：(1)证明： ∵∴//，且，有公共点， ∴三点共线. (2)：， ∵三点共线，∴//， ∴∴. 练习 例4.(求点的坐标) 已知点与点，点在直线上，且，求点的坐标. 解：设点的坐标为，. 当在线段上时，， ∴ ∴解得∴点的坐标为 当在延长线上时，， ∴ ∴解得∴点的坐标为 练习 方法技巧： 三点共线问题 若已知三点坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法： (1)直接利用上述条件，计算是否为0； (2)任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断. 求点的坐标 求线段上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论. 课堂小结 1.平面向量数乘运算的坐标表示 已知，那么即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2.平面向量共线的坐标表示 设其中， 共线的充要条件是. 作业 (1)整理本节