6.3.1 平面向量基本定理（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 课程标准 核心素养 1.理解平面向量基本定理及其意义． 2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量 1.能理解平面向量基本定理的推导过程．(数学抽象) 2．能运用平面向量基本定理解决有关问题(直观想象) 平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． (1)平面向量的基底是唯一的吗？ 答案：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任一向量都可以用这一基底唯一表示． (2)若e1，e2是一个平面内的一组基底，则集合{a|a＝λ1e1＋λ2e2，λ1，λ2∈R}表示的是什么？ 答案：集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a与e2共线；当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a为零向量． 判断正误． (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底．(　　×　　) (2){0，e}可以作为基底．(　　×　　) (3)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)表示该平面内所有非零向量．(　　×　　) 解析：(1)只有不共线的两个向量才可以作为基底． (2)由于0和任意向量共线，故{0，e}不可作为基底． (3)当λ1＝λ2＝0时，λ1e1＋λ2e2表示零向量. 知识点一　平面向量基本定理的理解 (1)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 (2)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) ①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝； ④若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ (1)ACD　解析：选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选ACD． (2)B　解析：由平面向量的基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么对同一平面内任意一个向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)是唯一的．对于③，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．故选B． 理解平面向量基本定理的注意点 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 给出下列三种说法： ①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 其中，说法正确的为(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ B　解析：根据基底的概念，可知②③正确．故选B． 知识点二　用基底表示向量 如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，，. 解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝a，＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. [探究1]本例中若取BC的中点G，试表示出AG. 解：＝＋＋ ＝－b＋a＋b＝a－b， 所以＝＋＝＋ ＝b＋a－b＝a＋b. [探究2]本例中若EF的中点为H，试表示出. 解：＝－＝－ ＝－－， 因为＝b－a， 所以＝－b＋a－b＝a－b. 用基底表示向量的实质及注意点 (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 如图所示，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. 解：＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋ ＝－＋＋＝b－a. 知识点三　平面向量基本定理的综合应用 如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在