第六章 平面向量及其应用 章末回顾与提升（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

一、平面向量的线性运算及应用 向量线性运算的基本原则和求解策略： (1)基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略 ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧； ②字符表示下线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，. 解：∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2. ∵＋＋＋＝0，∴＝－－－ ＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2. 又∵＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－ ＝－＋＋＝e2. [训练1] 如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 　解析：设＝λ， 则＝＋＝－＋m＋＝(m－1)＋. ＝＋＝－＋. ∵与共线，∴(m－1)＋＝0， ∴m＝. 二、向量的数量积 数量积运算是向量运算的核心，利用向量的数量积可以解决以下问题： (1)向量平行、垂直问题 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①设a＝(x1，y1)，则|a|＝； ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π) cos θ＝＝. 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)． (1)用k表示数量积a·b； (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小． 解：(1)由|ka＋b|＝|a－kb|， 得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝＝1，|b|＝＝1， ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0， ∴a·b＝＝(k>0)． (2)a·b＝＝. 由对勾函数的单调性可知，f(k)＝在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝， 此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝， 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. [训练2] (1)已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值为(　　) A． B． C．2 D． (2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________． (1)C　解析：如图建立平面直角坐标系，由题意得，D(，)，C(，0)，设P(0，t)(0≤t≤)，∴＝(，－t)，＝(，－t)，∴·＝t2－t＋2＝＋，∴当t＝0或时，(·)max＝2，故选C． (2)　解析：由⊥知·＝0， 即·＝(λ＋)·(－) ＝(λ－1)·－λ2＋2 ＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0， 解得λ＝. 三、利用余弦、正弦定理解三角形 解三角形的一般方法： (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B． (1)证明：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小． (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin (A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin (A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. (2)解：由S＝，得absin C＝，故有 sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B， 因为sin B≠0，所以sin C＝cos B， 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B. 当B＋C＝时，A＝； 当C－B＝时，A＝. 综上，A＝或A＝. [训练3] 如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD，