第六章 平面向量及其应用 名师微课 向量极化恒等式（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

名师微课　向量极化恒等式 　利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 极化恒等式：a·b＝－. 变式：a·b＝－，a·b＝－. 如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.·＝4，·＝－1，则·的值为________． 　解析：设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4，·＝2－2＝n2－m2＝－1.联立解得n2＝，m2＝. 因此·＝2－2＝4n2－m2＝.即·＝. 如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是________． [0，2]　解析：由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径．设内切球的球心为O，则·＝2－2＝2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，所以·∈[0，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $