7.2.2 复数的乘、除运算（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

7．2.2　复数的乘、除运算 课程标准 核心素养 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律 1.通过类比多项式的乘除运算得到复数的乘除运算法则．(数学抽象) 2．会运用运算法则进行复数的乘除运算(数学运算) 1．复数的乘法运算 复数乘法 运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R) z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 复数乘法 的运算律 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (1)表达式|z|2＝z2正确吗？ 答案：不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1. (2)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 答案：复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并． 复数(3＋2i)i等于(　　) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i B　解析：(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，故选B． 2．复数的除法运算 复数除法运算法则 复数除法的运算实质 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＝＋i 复数的除法的实质是分母实数化．即分子、分母同乘分母的共轭复数 怎样进行复数的混合运算？ 答案：三个或三个以上的复数相乘，可按照从左到右的顺序或利用结合律运算，复数的混合运算与实数的混合运算法则一样． 已知i是虚数单位，则＝(　　) A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i D　解析：＝＝＝1＋2i，故选D． 知识点一　复数代数形式的乘法运算 (1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) (2)计算： ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； ②(3＋4i)(3－4i)； ③(1＋i)2. (1)B　解析：(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为它在复平面内对应的点在第二象限，所以解得a<－1，故选B． (2)解：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i. ②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. ③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. 复数代数形式的乘法运算常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. (1)已知复数z＝2＋i，则z·＝(　　) A． B． C．3 D．5 (2)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝________． (1)D　解析：∵z＝2＋i， ∴＝2－i，z·＝(2＋i)(2－i)＝5. 故选D． (2)－5－15i　解析：(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. 知识点二　复数代数形式的除法运算 (1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)计算：＋－. (1)B　解析：由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i， 所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．故选B． (2)解：原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i. 复数代数形式的除法运算的步骤和常用公式 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． (2)常用公式 ①＝－i；②＝i；③＝－i. (1)在复平面内，复数的对应点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2021·河北邯郸高一下期中)已知复数z＝，则|z|＝(　　) A． B． C． D． (1)B　解析：＝＝＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1，2)，位于第二象限．故选B． (2)D　解析：z＝＝＝－＋i，故|z|＝＝.故选D． 知识点三　复数范围内解方程 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根． 解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋