7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

7．2　复数的四则运算 7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义 课程标准 核心素养 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则． 2．理解复数加、减法的几何意义 1.通过类比多项式加减运算得到复数的加减运算．(数学运算) 2．由向量的加减运算得到复数的加减运算的几何意义(直观想象) 1．复数加法与减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 复数加减法的运算法则 ①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i 复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 向量的加法运算法则是什么？是否适合复数的加法运算法则？ 答案：平行四边形法则，由于复数与平面向量是一一对应的，所以向量加法的平行四边形法则适合复数的加法运算法则． 已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i B　解析：根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.故选B． 2．复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应． 类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？ 答案：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离． 设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　解析：∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i， ∴z1－z2在复平面内对应的点为(5，－7)，位于第四象限．故选D． 知识点一　复数的加、减运算 设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围． 解：∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i， ∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i ＝＋(m2－2m－15)i. ∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0. ∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R.即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)． 复数的加、减运算的几个注意点 (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并． (2)复数的加、减运算结果仍是复数． (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算． (4)实数集中的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝________． －11i　解析：原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i. 知识点二　复数加减法的几何意义 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求： (1)表示的复数； (2)对角线表示的复数． 解：(1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i. (2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. [探究]本例的条件不变，试求对角线所表示的复数及的长度． 解：因为对角线＝＋＝＋， 所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以||＝＝. 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的． (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． (1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i，3＋2i，则||＝________． (2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________． (1)　解析：∵＝＋， ∴表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴||＝＝. (2)(－∞，1)　解析：z2－z1＝1＋(a－1)i，由题意知a－1<0，即a<1. 知识点三　复数模的最值问题 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1 B． C．2 D． (2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值． (1)A　解析：设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值．由图可知，|z＋i＋1|min＝|Z1Z3|＝1.故选