7.1.1 数系的扩充和复数的概念（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

7．1　复数的概念 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 课程标准 核心素养 1.通过方程的解，了解引进复数的必要性． 2．认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 1.能认识复数，理解复数的基本概念．(数学抽象) 2．会求复数相等的充要条件(数学运算) 1．复数的有关概念 定义 表示方法 复数 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部 复数集 全体复数所构成的集合叫做复数集 通常用大写字母C表示 (1)两个复数一定能比较大小吗？ 答案：不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小． (2)复数z＝a＋bi的虚部b可以为零吗？ 答案：可以．当b＝0时，z为实数． 2．复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 实数集R与复数集C有什么关系？ 答案：实数集R是复数集C的真子集． 用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有(　　) A．C＝R∩I B．R∩I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝∅ D　解析：由复数的概念可知R⊂C，I⊂C，R∩I＝∅.故选D． 3．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0． (1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝0，则a＋b的值为多少？ 答案：0. (2)若复数z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为多少？ 答案：因为z1＝z2，所以a＝1，b＝3，故a＋b＝4. 如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　) A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1 C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0 A　解析：∵(x＋y)i＝x－1，∴∴x＝1，y＝－1.故选A． 知识点一　复数的概念 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)2＋3i；(2)－3＋i；(3)＋i；(4)π；(5)－i；(6)0. 解：(1)的实部为2，虚部为3，是虚数；(2)的实部为－3，虚部为，是虚数；(3)的实部为，虚部为1，是虚数；(4)的实部为π，虚部为0，是实数；(5)的实部为0，虚部为－，是纯虚数；(6)的实部为0，虚部为0，是实数． 对复数的概念的理解 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． (多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．i的平方等于1 ABD　解析：对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数； 对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1； 对于D，i的平方为－1. 故选ABD． 知识点二　复数的分类 实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零． 解：z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z∈R. (2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数． (3)当即k＝4时，z是纯虚数． (4)当即k＝－1时，z＝0. 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)当x满足即x＝5时，z是实数． (2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数． (3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数． 知识点三　两个复数相等 (1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________． (2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值． (1)－3　解析：∵z<0，∴∴m＝－3. (2)解：设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0， 即(a2