6.4.3 第1课时 余弦定理（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

6．4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 课程标准 核心素养 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法． 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 1.学会余弦定理的证明方法．(数学抽象) 2．会运用余弦定理解三角形(数学运算) 1．余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余 弦 定 理 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC是锐角三角形吗？ 答案：不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形． 在△ABC中，符合余弦定理的是(　　) A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝ 答案：A 2．解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 3．利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题 (1)已知两边及其夹角，解三角形； (2)已知三边，解三角形． 已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？ 答案：由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2＝a2＋b2－2abcos C，c唯一，cos B＝，因为0<B<π，所以B唯一，从而A也唯一．所以三角形其他元素唯一确定． (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________． (2)在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则B＝________． (1)2　解析：根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6×cos 120°＝76，c＝2. (2)60°　解析：cos B＝＝＝， ∵0°<B<180°，∴B＝60°. 知识点一　已知两边及一角解三角形 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a. 解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0， A＝90°，C＝60°. 已知两边及一角解三角形的方法 利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用余弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，则c等于(　　) A．4 B． C．3 D． D　解析：由三角形内角和定理可知 cos C＝－cos (A＋B)＝－， 又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝9＋4－2×3×2×＝17， 所以c＝.故选D． 知识点二　已知三边解三角形 已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的各角的大小． 解：设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)， 利用余弦定理， 有cos A＝＝＝， ∴A＝45°.同理可得cos B＝，B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝75°. 已知三角形的三边解三角形的方法 (1)利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为三边关系求解． 若a∶b∶c＝1∶∶2，求A，B，C． 解：∵a∶b∶c＝1∶∶2，可设a＝x，b＝x，c＝2x(x>0)， 由余弦定理得： cos A＝＝＝， ∵0<A<π，∴A＝. 同理可求得B＝. ∴C＝π－(A＋B)＝. 知识点三　判断三角形的形状 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状． 解：由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理， 得a·＋a·＝b＋c， 即＋＝b＋c， 整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0. 因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2， 故△ABC是直角三角形． [探究]将本例中的条件改为“在△ABC中，满足c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C”，试判断该三角形的形状． 解：由余弦定理得c2＝bc·＋ac·＋ab·， 即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形． 判断三角形形状的思路和常用结论 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：