6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用举例（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

6.4　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 6．4.2　向量在物理中的应用举例 课程标准 核心素养 1.会用向量方法计算或证明几何中的相关问题，解决简单的力学问题及其他实际问题． 2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用 会运用向量方法解决平面几何问题及简单的力学问题(数学建模、逻辑推理) 1．向量方法解决平面几何问题的三个步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 用向量证明平面几何问题的方法，常有哪两种思路？ 答案：(1)向量的线性运算法；(2)向量的坐标运算法． 在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　) A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 C　解析：(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形．故选C． 2．向量方法解决物理问题的四个步骤 (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 向量的数量积与功有什么联系？ 答案：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积． 若向量1＝(2，2)，2＝(－2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　) A．(0，5) B．(4，－1) C．2 D．5 D　解析：|F1＋F2|＝|1＋2|＝|(2，2)＋(－2，3)|＝|(0，5)|＝5.故选D． 知识点一　利用平面向量证明平面几何问题 已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0， (1)用，表示； (2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形． (1)解：因为2＋＝0， 所以2(－)＋(－)＝0， 2－2＋－＝0， 所以＝2－. (2)证明：如图，＝＋＝－＋＝(2－)． 故＝.即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形． 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：(方法一)设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋b， ＝＋＝b＋a， 所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. (方法二)如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 知识点二　利用向量解决平面几何求值问题 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴||＝，即AC＝. 用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. 如图，已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||＝________. 　解析：由题意知2＝＋， 因为＝5p＋2q，＝p－3q， 所以2＝＋＝6p－q， 所以2||＝|6p－q| ＝＝15， 所以||＝. 知识点三　向量在物理中的应用 (1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ (2)已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，求F1，F2分别对质点所做的功． 解：(1)如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度． ∵＋＝， ∴四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5， ||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. (2)设物体在力F作用下的位移为s