6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 核心素养 1.掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向量共线的条件． 2．掌握三点共线的判断方法 1.会进行数乘向量的坐标运算．(数学运算) 2．会进行三点共线的判断(数学抽象) 平面向量数乘运算及向量共线的坐标表示 类型 坐标表示 语言叙述 平面向量的数乘 运算的坐标表示 已知a＝(x，y)， 则λa＝(λx，λy) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 平面向量共 线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线 a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)的形式 向量平行(共线)的用途是什么？ 答案：利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题． (1)判断正误． ①若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(　　×　　) ②若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　　×　　) ③若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(　　√　　) 解析：①当y1y2＝0时不成立． 两向量共线的坐标表示为x1y2－x2y1＝0，故②错，③正确． (2)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是(　　) A．(－4，2) B．(－4，－2) C．(4，2) D．(4，－2) D　解析：3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(4，－2)．故选D． 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 (1)已知三点A(2，－1)，B(3，4)，C(－2，0)，则3＋2＝________，－2＝________． (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标． (1)(11，13)　(－7，－14)　解析：∵A(2，－1)，B(3，4)，C(－2，0)， ∴＝(1，5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)． ∴3＋2＝3(1，5)＋2(4，－1) ＝(3＋8，15－2) ＝(11，13)． －2＝(－5，－4)－2(1，5) ＝(－5－2，－4－10) ＝(－7，－14)． (2)解：a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)， 3a＝3(－1，2)＝(－3，6)， 2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5) ＝(－2，4)＋(9，－15) ＝(7，－11)． 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)． (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1，2)－(2，1) ＝－＝. 知识点二　向量共线的判定与证明 (1)下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2) C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4) (2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ (1)D　解析：A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0， ∴a与b不平行； B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0， ∴a与b不平行； C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行； D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故选D． (2)解：＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)． (方法一)∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0， ∴与共线且方向相反． (方法二)∵＝－2， ∴与共线且方向相反． 解决向量共线问题的思路 此类题目应充分利用平面向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，＝，＝，求证：∥. 证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)． ∵＝(2，2)，＝(－2，3)，