专题1.8 圆锥曲线-椭圆-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.8 圆锥曲线-椭圆 1．解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 2．求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数方法或定义法； 3．与焦点三角形有关的计算问题，足以利用椭圆的定义、焦半径公式等来简化计算． 4．直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法： ①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题． ②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． ③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系. 5．解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． 1．已知点在椭圆上，且点Q到曲线C的两焦点的距离之和为． （1）求C的方程； （2）设圆上任意一点P处的切线l交C于点M、N，求cos∠MON的值． 【试题来源】江西省上饶市六校2022届高三第一次联考 【答案】（1），（2） 【解析】（1）因为点在椭圆上， 且点Q到C的两焦点的距离之和为． 所以，   所以，所以椭圆C的方程为． （2）当直线l的斜率存在时，设方程为．因为直线l与圆相切， 所以，即， 联立，整理可得， 设，所以 因为， ， 所以，所以； 当直线l的斜率不存在时，根据对称性得M，N的坐标分别为， 此时有，所以，综上知． 2．已知椭圆（a>b>0）的离心率为，短轴的下端点A的坐标为（0，－1）． （1）求椭圆E的方程； （2）设B，C是椭圆E上异于A的两点，且|AB|=|AC|，BC 的中点为G ，求证：点G在定直线上运动． 【试题来源】四川省宜宾市高县中学2021-2022学年高三下学期高考适应性考试 【答案】（1），（2）证明见解析 【解析】（1）由椭圆E短轴的下端点A的坐标为，得，即； 由，得，代入上式，解得，从而， 所以椭圆E的方程为． （2）若 轴，不符合题意； 若 与 轴不垂直，设直线BC的方程为， 代入并整理，得 一方面，必须； 另一方面，设，，则， 设的中点 ，则 ， 且 ， ①当时，轴，显然点G在y轴上． ②当时，由AG⊥BC ，得， 则即 ，化简得， 代入，得，解得． 所以 ，，即， 故点（）在定直线上运动． 综上，当轴时，显然点G在y轴上运动；当BC与不平行不垂直时，点G在直线上运动． 3．设为坐标原点，椭圆与，轴的正半轴分别交于，两点，且的面积为，点，（，均不与重合）是椭圆上两个动点，且当时，． （1）求椭圆的方程； （2）若直线和的斜率之积为，试探究：直线是否过定点；若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由． 【试题来源】安徽省A10联盟2022届高三下学期开年考 【答案】（1），（2）过定点， 【解析】（1）由题意得，，则①， 因为，所以在椭圆上，代入可得②， 联立①②，解得，，所以椭圆的方程为． （2）由（1）知，，若直线的斜率不存在，设，， 此时， 与题设矛盾，故直线的斜率必存在． 设直线的方程为，联立， 得，， 设，所以，，（*） 所以 ， 将（*）式代入上式，整理得， 解得或，当时，直线过定点，不符题意． 所以直线过定点． 4．已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点． （1）求C的方程； （2）若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程． 【试题来源】黑龙江省嫩江市第一中学等2021-2022学年高三上学期期末联考 【答案】（1）；（2）证明见解析，． 【解析】（1）因为，所以，解得． 因为C过点，所以，解得． 所以C的方程为． （2）由题意，设，则，． 由，整理得， 则， 解得且，，． 由得 ， 所以点G在定直线上． 5．已知椭圆：的离心率为，长轴长是4． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相切，又与圆：交于，两点（为坐标原点）．求面积的最大值，并求出此时直线的方程． 【试题来源】内蒙古自治区2021-2022学年高三上学期12月月考 【答案】（1）， （2）所求面积的最大值为，直线的方程为. 【解析】（1）由已知，． 所以，，所以， 所以椭圆的方程为