6.3 空间向量的应用-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第六章 空间向量与立体几何 6.3空间向量的应用 【必备知识】 知识点1:直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的向量表示 空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点A以及 一个定方向确定. 我们把直线上的向量以及与 共线的非零向量叫作直线的方向向量. 2.平面的法向量 如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平 面, 那么称向量垂直于平面, 记作.此 时, 我们把向量叫作平面的法向量. 3.平面法向量的求法 要求一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,如果已有直线与平面垂直,那就直接得到平面 的法向量.如果没有明显直线与平面垂直,一般用待定系数法求法向量,其步骤如下: (1)设平面法向量为; (2)找出平面内的两个不共线向量 (3)根据法向量的定义建立方程组; (4)解方程组,取其中一个解,得到(因为有无数个,常在方程组的解中取一个比较简单的解作为平面的一个法向量,一般令,,) 建立空间直角坐标系的注意点: 选取原点时,要以坐标计算简便为标准,要注意找到两两垂直且交于一点的三条直线 【典例1】已知,,. (1)写出直线BC的一个方向向量; (2)写出平面ABC的一个法向量. 【答案】(1); (2). 【解析】 (1)因为,,所以, 所以直线BC的一个方向向量为. (2)因为,,,所以,, 设平面ABC的一个法向量为,则, 即,令,则,, 所以, 所以平面ABC的一个法向量为. 知识点2:空间线面关系的判定 设直线,的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则有: 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 【典例2】在三棱锥中,平面平面,,,为线段的中点,点,,分别在线段,,上,且,.若,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求点的坐标; (2)用向量法证明平面平面. 【答案】 (1) (2)证明见解析 【解析】 (1)解:由题意可知,,,, 设, 则,,. 又,即, 所以,,所以点的坐标为. (2)因为,, 所以,,, 又, 所以, 所以,即. 又平面,平面, 所以平面. 同理可证平面, 因为, 所以平面平面. 知识点3:空间角的计算 1.异面直线所成角 若异面直线所成的角为,其方向向量分别为,则 (两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角关系是相等或者互补) 2.直线与平面所成角 如图,直线与平面相交于点,设直线与平面所成的角为(的范围是),直线的方向向量为,平面的法向量为,则. 3.平面与平面所成角 (1)定义:如图,平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角(两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角相等或互补). (2) 若平面的法向量分别是和,则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为,则. 注意:在利用向量法求二面角时,一定要结合图形判断出二面角是锐二面角还是钝二面角. 【典例3】 四棱锥中,底面为矩形底面,点M是侧棱的中点,. (1)求异面直线与所成角的大小; (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)60°;(2). 【详解】 解法二:以D为原点,所在的射线为轴,建立如图所示的直角坐标系. 则, , , ∴异面直线与所成角的大小为60°; (2)设平面SAM的法向量为, 由,得,化简得, 令,得; 设平面AMB的法向量为, 由,得,化简得, 令,得; , ∴二面角的正弦值为. 知识点4:空间距离的计算 1.直线外一点到直线的距离 如图,已知直线的单位方向向量为是直线上的定点,是直线外一点. 设,则向量在直线上的投影向量.在Rt中,由勾股定理, 得 . 2.点到平面的距离 如图,已知平面的法向量为是平面内的定点,是平面外一点,过点作平面的垂线,交平面于点,则是直线的方向向量,且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 因此. 3.两平行平面之间的距离 两平行平面间的距离转化为点到平面的距离来解决.在平面内取一点,通过求点到平面的距离,求得平面之间的距离. 4.异面直线的空间距离 如图所示,是异面直线与的公垂线段,A 、B分别为a 、b上的 两点,令,则. 即 两异面直线与的距离. 【典例4】已知边长为2的正方体中,E,F分别为,的中点,则点B到平面AEF的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 以DA,DC,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图, 则,,,. 设平面的法向量为, , 则,即 令,则,得. 又,所以点B到平面AEF的距离为 故选:C 【典例5】长方体中,,,为的中点,则异面直线与之间的距离是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 建立如图所示的空间直角