专题1.7 空间向量与立体几何-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.7 空间向量与立体几何 （1）高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等． 主要有两种考查形式： ①利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系； ②考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题. （2）运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： ①建立恰当的空间直角坐标系； ②求出相关点的坐标； ③写出向量坐标； ④结合公式进行论证、计算； ⑤转化为几何结论． （3）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则. （4）用向量解决探索性问题的方法： ①确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求． ②确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标． ③解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题． 1．刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体．《九章算术》中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”如图，在刍甍中，四边形是正方形，平面和平面交于． （1）求证：平面； （2）若，，，，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得刍甍存在，并求平面和平面夹角的余弦值． 条件①：，； 条件②：平面平面； 条件③：平面平面． 【试题来源】江苏省扬州中学2022届高三下学期开学检测 【答案】（1）证明见解析；（2）只有条件②符合，余弦值为． 【解析】（1）在正方形中，，平面，平面， 所以平面； （2）由（1）可知，平面，又平面，平面．，又，，所以四边形为等腰梯形，四边形为梯形； 条件①：，，则平面，即平面， 又平面，，此时四边形不为等腰梯形，故条件①不符合 条件③：平面平面，且平面平面 又，平面，平面， 此时四边形不为等腰梯形，故条件③不符合； 条件②：平面平面，； 过点作于，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面 又平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为平面，平面，平面平面， 在四边形中，，，，所以，， 在正方形中，，所以 因为，且，所以， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 由，令，则； 设平面的一个法向量， 由，令，则． 设平面和平面的夹角为，根据图形可以看出二面角的大小是锐角， 则． 所以平面和平面的夹角的余弦值为． 2．已知梯形ABCD如图（1）所示，其中AB//CD，∠BAD=90°，∠BCD=45°，CD=BC，过点A作BC的平行线交线段CD于M，点N为线段BC的中点．现将△DAM沿AM进行翻折，使点D到达点P的位置，且平面PAM⊥平面AMC，得到的图形如图（2）所示． （1）求证：AP⊥PN； （2）求平面PAN与平面PCM所形成的锐二面角的余弦值． 【试题来源】河南省顶级中学2021-2022学年高三上学期阶段性测试（一） 【答案】（1）证明见解析，（2） 【解析】（1）如图，在平面图形中，连接BD交AM于O，连接MN． 因为，，所以四边形ABCM为平行四边形，所以AB=CM． 在△CBD中，由余弦定理，得BD2=CD2+CB2-2CD·CB·cos∠BCD=CB2， 所以CB=BD，则CB2+BD2=CD2，故∠CBD=90°． 则∠ABD=45°，则AB=AD=BD，故CM=DM． 因为M，N分别为CD，BC的中点，所以，所以MN⊥AM． 在立体图形中，连接MN， 因为平面PAM⊥平面AMC，且平面PAM∩平面AMC=AM，MN平面ABCM， 故MN⊥平面PAM．因为PA平面PAM，故AP⊥MN， 又AP⊥MP，MN∩MP=M，故AP⊥平面PMN，在PN平面PNN，故AP⊥PN． （2）取AM的中点O，连接OB，OP，MN．由（1）可知，可以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设． P（0，0，），A（，0，0），C（，，0），M（，0，0），N（，，0），，， 设平面PCM的法向量为，则， 即，令，得， ，， 设平面PAN的法向量为，