专题3.2 等边三角形手拉手模型-2021-2022学年八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题3.2 等边三角形手拉手模型 1．如图，等边，点为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．连接．求证：． 【解答】证明：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可得：，， ， ， 在和中， ， ， ． 2．如图，与为等边三角形，点，，在直线同侧，连接，． （1）求证：； （2）可以看作是经过旋转得到的，请利用旋转的知识进行说明． 【解答】（1）证明：与为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ； （2），，， 可以看作是绕点顺时针旋转得到． 3．如图①，和都是等边三角形． （1）若、、在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，试判断与的数量关系为 　　；度数为 　　； （2）将绕点顺时针旋转，、、不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【解答】解：（1）是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 在中， ， ， 故答案为：，； （2）成立． 证明：和都是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ． 4．如图，为等边三角形，点是线段上一点（点不与，重合），连接，过点作，垂足为点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，求证：为的中点． 【解答】证明：（1）将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，． 是等边三角形． 为等边三角形， ，． ． 在和中， ， ． ， ， ． ． 即； （2）如图，过点作，交的延长线于点， ，， ． ， ， ， ，． ． ． ， ， 在和中， ， ． ． 点是中点． 5．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 【解答】（1）证明：如图1，线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， （2）解：结论正确，理由如下： 如图2，过作，的垂线段分别交于点，， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 6．如图1，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点，交于点． （1）求出的度数； （2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由； （3）若将绕点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，试说明理由． 【解答】解：（1）和都是等边三角形， ， 点、、在同一条直线上， ； （2）． 理由：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ； （3）（2）中的结论还成立． 和都是等边三角形， ，，． ， ． 7．如图1，等边三角形中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点，的对应点分别为点、，且、、三点在同一直线上． （1）填空：　　； （2）若过点作于点，然后探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【解答】解：（1）如图， 将绕点按逆时针方向旋转角得到， ， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：； （2）， 理由如下： 将绕点按逆时针方向旋转角得到， ， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ． 8．与都是等边三角形，连接、． （1）如图①，当点、、在同一条直线上时，则　120　度； （2）将图①中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置．求证：． 【解答】解：（1）是等边三角形， ， 点、、在同一条直线， ， ， 故答案为：120； （2）与都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ． 9．如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接，． （1）求的度数； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求的长（直接写出结果）． 【解答】解：（1）由旋转的性质得，，， ，即， 三角形是等边三角形， ， ， 为等边三角形， ； （2）与的位置关系是：，理由如下： 由（1）知， 将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到， ， ， ； （3）由旋转的性质得，， 为等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：． 10．如图，点是等边内一点，，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【解答】（1）证明：将绕点按顺时针方向旋转得， ，， 是等边三角形． （2）解：当时，是直角三角形． 理由是：将绕点按顺时针方向旋转得， ， ， 又是等边三角形， ， ， ，，， ， 不是等腰直角三角形，即是直角三角形． （3）解：①要使，需， ，， ， ； ②要使，需． ， ， ； ③要使，需． ， ， ， 解得． 综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形．