专题3.1 最值问题-2021-2022学年八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题3.1 最值问题 一．选择题（共9小题） 1．如图，是等边三角形的边上的高，点是上的一个动点（点不与点重合），连接．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，若，则线段长度的最小值是　　 A．3 B． C．1.5 D．1 【解答】解：如图，连接， 是等边三角形的边上的高，， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在射线上运动， 当时，有最小值， 此时，，， ， 线段长度的最小值是1.5， 故选：． 2．如图，在中，，，直线于点，是上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则在点的运动过程中，的最小值是　　 A．1 B．1.5 C．2 D．4 【解答】解：取线段的中点，连接，如图所示． ，， 为等边三角形，且为的对称轴， ，， ， ． 在和中， ， ， ． 当时，最小， 点为的中点， 此时． 故选：． 3．如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若的最小值为，那么等边三角形的边长为　　 A．10 B．8 C．6 D．4 【解答】解：如图，连接，延长至，使，连接， 是等边三角形，是的中点， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的直线上运动， 当时，有最小值， ， ， ， ， 故选：． 4．如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是　　 A． B．4 C． D．5 【解答】解：如图，以为边，在的左侧作等边，连接， ，是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 当点在的延长线上时，的最大值， 的最大值为4， 故选：． 5．如图，在中，，，，点是上的动点，连接，以为边作等边，连接，则点在运动过程中，线段长度的最小值是　　 A．2 B．4 C． D． 【解答】解：如图，取的中点，连接，．则， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当时，的值最小， 在中，，， ， 的最小值为2， 故选：． 6．如图，边长为5的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是　　 A． B．1 C．2 D． 【解答】解：如图，取的中点，连接， 旋转角为， ， 又， ， 是等边的对称轴， ， ， 又旋转到， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，时，最短，即最短， 此时，， ， ， 故选：． 7．如图，已知，，，点为内一动点，连接、、，将绕着点逆时针方向旋转得到，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：连接，，过点作，交的延长线于点， 由旋转可得： ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， 的最小值为：， 故选：． 8．如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转得到△，取的中点，的中点，则在旋转过程中，线段的最大值为　　 A．1 B．0.5 C．2 D．1.5 【解答】解：，，， ，， 由旋转得，，，， 点是的中点， ， △是等边三角形， ， ， 当点、、三点共线时，最大，， 点是的中点，， ， ． 故选：． 9．如图，在中，，，，为边上一点，，为边上一动点，连接，以为边并在的右侧作等边，连接，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D． 【解答】解：以为边，在右侧作等边三角形，连接，如图： 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ， 当最小时，最小，此时，如图： 过作于， ，， ， ，， 而， 四边形是矩形， ， 而， 最小值是2． 故选：． 二．填空题（共6小题） 10．如图，是等边三角形，直线于点，点在直线上一动点，以为边向右作等边三角形，连结，已知，则的最小值是 　6　． 【解答】解：连接， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 过点作于点， 点在直线上一动点， 点与点重合时，有最小值， ， ， ， ， 的最小值为6． 故答案为：6． 11．数学兴趣活动课上，小方将等腰的底边与直线重合，问： （1）已知，，点在边所在的直线上移动，小方发现的最小值是 　3　； （2）在直角中，，，，点是边上的动点，连接，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，线段的最小值是 　　． 【解答】解：（1）如图1中，作于． ，， ， ， 根据垂线段最短可知，当与重合时，的值最小，最小值为10． 故答案为：10． （2）如图（2），在上取一点，使得，连接，． ，， ， ， ， ，， ， ， 时，的值最小，最小值为5， 的最小值为5． 故答案为：5． 12．如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若的最小值为，则的面积为 　　． 【解答】解：如图，连接，延长至，使，连接， 是等边三角形，是的中点， ，，， ，， ，