专题4.5 一线三垂直模型-2021-2022学年七年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题4.5 一线三垂直模型 一．选择题（共5小题） 1．如图，为线段上一点，，，，，则的长度为　　 A．12 B．10 C．8 D．6 【解答】解：， ，， ， ，， ， ， ， 故选：． 2．如图，，，，，，，则等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， 故选：． 3．如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是　　 A．7 B．3 C．5 D．2 【解答】解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ． 故选：． 4．如图，在等腰直角三角形中，，，点在直线上，过作于，过作于．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ，， ， 即与互余，故②正确； ， ，， ， ，故③正确． 故选：． 5．如图所示，，，过点任意作一直线，且作，，经测量，，则的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，又，，为直角， ， ， ，， ，， ． 故选：． 二．填空题（共1小题） 6．如图，在中，，，于点，于点，若，，则　5　． 【解答】解：，于点，于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， 故答案为：5． 三．解答题（共9小题） 7．【问题提出】 （1）已知：如图1，于点，于点，点在线段上，且，求证：． 【问题解决】 （2）如图2，点，，在直线上．点，在的同侧，，若，，求的长． 【解答】（1）证明：于点，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：作于，于， ，， ， 在中，由勾股定理得，， 由（1）同理得，， ， ，， ． 8．如图，，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ． 9．如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长． 【解答】解：， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ． ． 10．如图，在中，，，，与相交于点，于点，且平分，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明． 【解答】解：、， 若选择，证明如下： 平分， ， ， ， 在和中 ， ． 11．在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【解答】（1）证明：①， ． 又，， ． ②， ，． ． （2）成立，．不成立，此时应有． 证明：， ． 又，， ． ，． ． 12．在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：，，的关系； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【解答】证明：（1），理由如下： ，， ，， ， 在与中， ， ； ，， ， ； （2）于，于． ， ，． ． 在和中， ， ． ，． ． 13．已知，如图，三角形是等腰直角三角形，，是的中点，直线经过点，分别过点、作的垂线，即，， （1）如图1，当位于点的右侧时，求证：； （2）如图2，当位于点的左侧时，求证：； （3）如图3，当在的外部时，试猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【解答】（1）证明：，， ． ，， （同角的余角相等）． 在与中 ， ． （2）证明：，， ． ，， （同角的余角相等）． 在与中 ， ． ，． 又， ． （3）． 证明：，， ． ，， （同角的余角相等）． 在与中 ， ． ，． 又， ． 14．在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图①的位置时，说明：①；②； （2）当直线绕点旋转到图②的位置时，说明：； （3）当直线绕点旋转到图③的位置时，试问，，具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【解答】解：（1）①证明：，， ， ， ，， ， 在和中 ． ②证明：由（1）知：， ，， ， ． （2），， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ． ， （3）， 理由：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ． 15．在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【解答】解：（1）①，， ， ，， ， 在和中， ， ； ②， ，， ； （2）证明：，， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：，，