专题4.1 “8”字模型-2021-2022学年七年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题4.1 “8”字模型 一．填空题（共8小题） 1．如图，　360　． 【解答】解：如图，延长交于点， 由三角形外角性质可知： ，， ， 在四边形中，由四边形内角和可知： ， ． 故答案为：360． 2．如图，　180　． 【解答】解：如图，设线段，分别与线段交于点，． ，，， ， 故答案为：180． 3．如图所示，　360　度． 【解答】解：，， ． 故答案为：360． 4．如图，　180　． 【解答】解：如图， ，，， ， 故答案为：180． 5．如图，则的度数为 　　． 【解答】解：如图， ，， ． 故答案为：． 6．如图，则的度数是　　． 【解答】解：如图可知 是三角形的外角， ， 同理也是三角形的外角， ， 在中，， ． 故答案为：． 7．如图，的度数为　　 【解答】解：如图， ，， ， 故答案为：． 8．如图，　360　度． 【解答】解：如右图所示， ，，， ， 又、、是的三个不同的外角， ， ． 故答案为：． 二．解答题（共7小题） 9．图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； （3）图2中，当度，度时，求的度数． （4）图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【解答】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①线段、相交于点，形成“8字形”； ②线段、相交于点，形成“8字形”； ③线段、相交于点，形成“8字形”； ④线段、相交于点，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个， 故答案为：6； （3），① ，② 和的平分线和相交于点， ，， ①②得： ， 即， 又度，度， ， ； （4）关系：． ① ② ①②得： ， 和的平分线和相交于点， ， ． 10．如图1，已知线段、相交于点，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：． 利用以上结论解决下列问题： （2）如图2所示，，则的度数为　　． （3）如图3，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，． ①若，，求的度数． ②若角平分线中角的关系改成“，”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由． 【解答】解：（1）证明：在图1中，有，， ， ； （2）如图2所示， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． （3）①以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有 ， 、分别平分和， ，， ， ，， ； ②，其理由是： ，， ，， 以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有 ， ． ， ． 11．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图①，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故得，将点移到、内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图②中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图③，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求图④中的度数． 【解答】解：（1）不成立，结论是． 延长交于点， ， ， 又， ； （2）结论：． 连接并延长， 是的外角，是的外角， ，， ，即； （3）由（2）的结论得：．． 又 ． 12．如图1，已知线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“对顶三角形”．如图2，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）仔细观察，在图2中有　4　个以线段为边的“对顶三角形”； （2）在图2中，若，，求的度数． （3）在图2中，若设，，，，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示，并说明理由； （4）如图3，则的度数为　　． 【解答】解：（1）在图2中有4个以线段为边的“对顶三角形”； 故答案为：4； （2）和的平分线和相交于点， ，， ，， ， ， ，， ； （3），理由如下： 和的平分线和相交于点， ，， ，， ， ， ； （4）如图所示： 由三角形的外角性质得：，， ， 在四边形中，， ． 13．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 （1）已知平行于，如图，当点在、外部时，即，为什么？请说明理由．如图，将点移动到、内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则、、之间有何数量关系？请说明结论； （2）在图中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图，则、、、之间有何数量关系？（不需证明） （3）根据（2）的结论求图中的度数． 【解答】解：（1）①， ， ， ， 即：， ②不成立， 结论：， 理由：如图， 过点作