专题1.6 概率与统计-随机变量及其分布-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.6 概率与统计-随机变量及其分布 （1）频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差，离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识的结合，同时应注意独立性检验在实际生活中的应用。 （2）求离散型随机变量X的分布列的步骤 ①理解X的意义，写出X可能取的全部值； ②求X取每个值的概率； ③写出X的分布列． 注意：①与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列． ②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列． ③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列． ④与独立事件有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列． ⑤求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求，即可． 1．在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立. （1）求甲同学至少有一道题不能答对的概率； （2）运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强. 【试题来源】广东省韶关市2022届高三上学期综合测试（一） 【答案】（1），（2）乙 【解析】（1）设甲同学三道题都答对的事件为，则， 所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为. （2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分， 则，， ，， ，所以的概率分布列为 0 2 4 6 8 所以 设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分 ，， ，， ，所以的概率分布列为 0 2 4 6 8 所以， 所以，所以乙的得分能力更强. 2．某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出100人进行统计，其中对教师教学水平满意的学生人数为总数的60%，对教师管理水平满意的学生人数为总数的75%，对教师教学水平和教师管理水平都满意的有40人. （1）完成对教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为对教师教学水平满意与教师管理水平满意有关； 对教师管理水平满意 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平满意 对教师教学水平不满意 合计 （2）若将频率视为概率，随机从学校中抽取3人参与此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平都满意的人数为随机变量X；求X的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【试题来源】黑龙江省铁力市第一中学2021-2022学年高三上学期开学考试 【答案】（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，. 【解析】（1）由题意可得关于对教师教学水平和教师管理水平评价的22列联表： 对教师管理水平满意 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平满意 40 20 60 对教师教学水平不满意 35 5 40 合计 75 25 100 ， 所以有97.5%的把握认为教师教学水平满意与教师管理水平满意有关； （2）对教师教学水平和教师管理水平都满意的概率为， 且随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 其中；； ；； 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则. 3．近几年中国健身行业市场规模不断增长，某调查机构为了了解中国健身行业消费者去健身房消费是否存在年龄上的差异，从年龄在内的中国健身行业消费者随机抽取200人，经统计这200人中年龄在的消费者110人，有意愿去健身房消费的110人，年龄在的消费者有意愿去健身房消费的80人 （1）是否有99%的把握认为年龄在内的消费者更喜欢去健身房消费？ （2）统计这200名消费者所在城市区域，得如下表格 城市区域 一线城市 二线城市 三线城市 其他 百分比 40% 40% 10% 10% 现采用分层抽样的方式从这4组中抽取10人，并从这10人中随机选取3人，记这3人中来自一线城市的人数为X，求X的分布列与期望. 附： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：， 【试题来源】河南省部分学校2021-2