6.3 6.3.1 6.3.2 空间线面关系的判定（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（苏教版）

A层(必备知识练) 1．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　) A．3　　　　　　　　　 B．6 C．－9 D．9 解析：∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，∴z＝－9. 答案：C 2．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B. C. D. 解析：若点P在平面α内，则PA⊥α，即·n＝0.对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C、D. 答案：B 3．已知a为直线l的方向向量，，为平面α内两共点向量，则下列说法正确的是(　　) A．若a＝，则l∥α B．若a＝k(k∈R)，则l∥α C．若a＝p＋λ(p，λ∈R)，则l∥α D．以上均不一定推出l∥α 解析：选项A、B、C都能推出l∥α或l⊂α，但不能确定一定是l∥α. 答案：D 4.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论： ①平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)； ②平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)； ③平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)； ④平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)． 其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A， ∴AD⊥平面ABB1A1，∴①正确； ∵＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0， ∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴②不正确； ∵＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，(1,1,1)·＝0，(1,1,1)·＝0，∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，∴③正确； ∵＝(0,1,1)，而·(0,1,1)＝2≠0， ∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即④不正确．因此正确结论的个数为2. 答案：B 5．已知平面α的一个法向量为(1，－2,2)，平面β的一个法向量为(－2,4，k)，若α∥β，则实数k的值为(　　) A．5 B．4 C．－4 D．－5 解析：若α∥β，则向量(1，－2,2)与向量(－2,4，k)共线，∴存在实数λ，使(－2,4，k)＝λ(1，－2,2)， ∴∴λ＝－2，k＝－4. 答案：C 6．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b， ∴a·b＝－2＋6－2m＝0，得m＝2. 答案：2 7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________(填序号)． 解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0， 所以①②③正确，＝－＝(2,3,4)，·＝0，故④错误． 答案：①②③ 8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________. 解析：∵⊥，∴·＝0， ∴3＋5－2z＝0，∴z＝4. ∵＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC， ∴即 解得故＝. 答案： 9.如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面)，BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为CC1的中点，A是底面圆周上异于B，C的一点，A1是上底面圆周上异于B1，C1的一点，且AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝4，求证：B1O⊥平面AEO. 证明：由题意可知AB，AC，AA1两两互相垂直，以A为原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(4,0,0)，E(0,4,2)，O(2,2,0)，B1(4,0,4)，∴＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)． 设平面AEO的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得平面AEO的一个法向量为n＝(1，－1,2)． ∵＝(－2,2，－4)＝－2n， ∴∥n， ∴B1O⊥平面AEO. 10.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD. 证明：以D为